Tangens

Løser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(23°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 0.424\end{array}}$

Løser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(45°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 1\end{array}}$

Dette er en eksakt verdi.

Løser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(73.6°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 3.398\end{array}}$

Løser i GeoGebra:

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(30°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 0.577\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(30°\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \to \frac{1}{3} \sqrt{3}\end{array}} \end{gathered}$$

Her har vi også tatt med eksakt utregning for å vise at tangens til 30 grader er en eksakt verdi.

Løser i GeoGebra:

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(60°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 1.732\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(60°\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \to \sqrt{3}\end{array}} \end{gathered}$$

Her har vi også tatt med eksakt utregning for å vise at tangens til 60 grader er en eksakt verdi.

Løser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(0.3456\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 19.1°\end{array}}$

Alternativt kan vi løse likningen direkte.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(\mathrm{v}°\right)=0.3456\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{v}=19.1\}\end{array}}$

$v=19,1°$

Løser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(1\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 45°\end{array}}$

$v=45°$

Løser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\sqrt{3}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 60°\end{array}}$

$v=60°$

Løser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 30°\end{array}}$

$v=30°$

Den ukjente kateten AC er motstående katet til vinkel B. AB er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(28.0°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{14.0}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=7.4\}\end{array}}$

Den ukjente kateten er 7,4.

Den ukjente kateten AB er hosliggende katet til vinkel B. AC er motstående katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(28.0°\right)=\frac{7.0}{\mathrm{AB}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=13.17\}\end{array}}$

Den ukjente kateten er 13.

Den ukjente kateten AB er motstående katet til vinkel C. AC er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

$\tan C=\frac{AB}{AC}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(62.0°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{7.0}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=13.17\}\end{array}}$

Den ukjente kateten er 13.

Siden som har lengde 5, er motstående katet til vinkel v. Siden som har lengde 2, er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(\mathrm{v}°\right)=\frac{5}{2}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{v}=68.2\}\end{array}}$

$v=68,2°$

Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, AB. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

$\tan A=\frac{BC}{AB}$

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

$\begin{array}{rcl}& & \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(32°\right)=\frac{2.5}{\mathrm{AB}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=4\}\end{array}}\\ & & \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AC}}^2=4^2+2.5^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=-4.72, \mathrm{AC}=4.72\}\end{array}}\end{array}$

Vi får at $AB=4,0 \mathrm{og} AC=4,7$.

Den oppgitte siden AB er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke tangens til å finne motstående katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

$\begin{array}{rcl}\tan A& = & \frac{BC}{AB}\\ & & \\ A{C}^2& =& A{B}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}& & \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(22.8°\right)=\frac{\mathrm{BC}}{3.1}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=1.303\}\end{array}}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array} \\ \begin{array}{rcl}& & \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AC}}^2=1.{303}^2+3.1^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=-3.363, \mathrm{AC}=3.363\}\end{array}}\end{array} \end{gathered}$$

(Vi tar med tre desimaler for BC for å få større nøyaktighet i utregningen i linje 2.)

Vi får at $$ BC=1,3 \mathrm{og} AC=3,4$$.

Den oppgitte siden AB er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

$\begin{array}{rcl}\tan C& = & \frac{AB}{BC} \\ & & \\ A{C}^2& =& A{B}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(85.9°\right)=\frac{3.1}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=0.222\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AC}}^2=3.1^2+0.{222}^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=-3.108, \mathrm{AC}=3.108\}\end{array}} \end{gathered}$$

(Vi tar med tre desimaler for BC for å få større nøyaktighet i utregningen i linje 2.)

Vi får at $$ BC=0,22 \mathrm{og} AC=3,11$$.

Den oppgitte siden AC er motstående katet til vinkel B, som har oppgitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{AC}{BC} \\ & & \\ A{B}^2& =& A{C}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3}{5}=\frac{3.0}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=5\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AB}}^2=3.0^2+5^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=-5.83, \mathrm{AB}=5.83\}\end{array}} \end{gathered}$$

Vi får at $BC=5.0 \mathrm{og} AB=5.8$.

(Utregningen i linje 1 hadde vi klart uten CAS også...)

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og regner i GeoGebra.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\frac{3}{5}\right)\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx 30.96°\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 90-30.96\\ \overline{)4}& & \\ & & \approx 59.04°\end{array}} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}\angle B & =& 31°\\ & & \\ \angle A & =& 59°\end{array}$

Den oppgitte siden BC er hosliggende katet til vinkel B, som har oppgitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{AC}{BC} \\ & & \\ A{B}^2& =& A{C}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3}{5}=\frac{\mathrm{AC}}{7.0}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=4.2\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AB}}^2=4.2^2+7.0^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=-8.16, \mathrm{AB}=8.16\}\end{array}} \end{gathered}$$

Vi får at $AC=4,2 \mathrm{og} AB=8,2$.

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og regner i GeoGebra.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\frac{3}{5}\right)\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx 30.96°\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 90-30.96\\ \overline{)4}& & \\ & & \approx 59.04°\end{array}} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}\angle B & =& 31° \\ & & \\ \angle A & =& 59°\end{array}$

(Trekanten er dermed formlik med trekanten i forrige oppgave. Dette kunne vi sagt med én gang ut i fra at begge trekantene er rettvinklede og vinkel B er lik i trekantene fordi de har samme tangensverdi.)

Treet blir motstående katet til vinkel B i den rettvinklede trekanten vi får av geometrien. Avstanden AB på 30 meter blir hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra.

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(33°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{30}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=19.48\}\end{array}}$

Høyden på treet er $19$ meter.

Avstanden AC fra punktet A over til steinen på den andre siden av elva blir motstående katet til vinkel B mens avstanden AB blir hosliggende katet. Vi bruker definisjonen på tangens og regner i GeoGebra.

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(84°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{10}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=95.14\}\end{array}}$

Vi må huske på å trekke fra avstanden fra A til elvebredden. Bredden over elva blir da

$95 \mathrm{m}-8 \mathrm{m}=87 \mathrm{m}$

Mastehøyden på båten blir motstående katet til siktevinkelen. Avstanden ut til båten blir hosliggende katet. Vi kaller avstanden ut til båten for x. Vi bruker definisjonen på tangens til siktevinkelen, og kan da sette opp likningen nedenfor som vi løser i GeoGebra.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(1.5°\right)=\frac{12}{\mathrm{x}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{x}=458.26\}\end{array}}$

Avstanden ut til båten er ca 460 m.

Vi regner først ut siden DE, som blir hosliggende katet i den rettvinklede trekanten CDE.

$DE=4,5-1,9=2,6$

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel D og regner i GeoGebra.

$\tan D=\frac{CE}{DE}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\frac{1.9}{2.6}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 36.16°\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{C}:=90+\left(180-90-36.2\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx \mathrm{C}:=143.8°\end{array}} \end{gathered}$$

$\angle D=36,2°$

$\angle C =143,8°$

Så bruker vi Pytagoras' setning og bestemmer CD.

$\begin{array}{l}C{D}^2=C{E}^2+D{E}^2\end{array}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{CD}}^2=1.9^2+2.6^2\\ \overline{)3}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{CD}=-3.22, \mathrm{CD}=3.22\}\end{array}}$

$CD=3.2$

$\begin{array}{rcl}\angle C& = & \angle A=51.7°\\ & & \\ \angle D& =& \angle B=90°+(180°-90°-51.7°)=128.3°\end{array}$

Den siste utregningen gjøres kanskje enklest med CAS i GeoGebra.

Vi må regne ut lengden EB. Det gjør vi ved å regne ut lengden AE ved å bruke at trekanten AED er rettvinklet. Vi bruker definisjonen på tangens, og etterpå bruker vi formelen for arealet av et trapes. Vi regner alt i GeoGebra.

$\tan A=\frac{DE}{AE}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(51.7°\right)=\frac{2.1}{\mathrm{AE}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AE}=1.66\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{BE}:=5.1-1.66\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx \mathrm{BE}:=3.44\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Arealet}:=\frac{\mathrm{BE}+5.1}{2}·2.1\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx \mathrm{Arealet}:=8.97\end{array}} \end{gathered}$$

Arealet er 9,0.

Vi finner først AD ved å bruke Pytagoras. Deretter kan vi regne ut omkretsen, og vi løser med GeoGebra.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AD}}^2=1.{66}^2+2.1^2\\ \overline{)4}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AD}=-2.68, \mathrm{AD}=2.68\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Omkretsen}:=2·\left(5.1+2.68\right)\\ \overline{)5}& & \\ & & \approx \{\mathrm{Omkretsen}:=15.56\}\end{array}} \end{gathered}$$

Omkretsen er 15,6.

a) I denne trekanten vil AC være motstående katet til vinkel B. Hvis vinkel A er den rette vinkelen, vil AB være hosliggende katet. Vi regner ut hvor lang AB må være for at kravet skal være oppfylt.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{AC}{AB}\\ & & \\ \frac{3}{5}& =& \frac{6}{AB}\\ & & \\ 3·AB& =& 6·5\\ & & \\ 3AB& =& 30\\ & & \\ AB& =& 10\end{array}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

b) Her vil AB være motstående katet til vinkel C. Hvis vinkel A er den rette vinkelen, vil AC være hosliggende katet. Vi regner ut hva lengden AB må være for at kravet skal være oppfylt.

$\begin{array}{rcl}\tan C& = & \frac{AB}{AC}\\ & & \\ \frac{1}{2}& =& \frac{AB}{6}\\ & & \\ \frac{1}{2}·6& =& AB\\ & & \\ 3& =& AB\end{array}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

c) Her vil BC være motstående katet til vinkel A. Hvis vinkel C er den rette vinkelen, vil AC være hosliggende katet. Vi regner ut hva lengden BC må være for at kravet skal være oppfylt.

$\begin{array}{rcl}\tan A& = & \frac{BC}{AC}\\ & & \\ 3& =& \frac{BC}{1,2}\\ & & \\ 3·1,2& =& BC\\ & & \\ 3,6& =& BC\end{array}$

Oppgaven løses enklest med å bruke den trigonometriske funksjonen sinus eller cosinus. Her viser vi hvordan oppgaven kan løses med tangens.

Vi finner AC uttrykt ved BC.

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{3}{5}\\ & & \\ \frac{AC}{BC}& =& \frac{3}{5}\\ & & \\ AC& =& \frac{3}{5}BC\end{array}$

Vi bruker så Pytagoras' setning og setter opp en likning for å finne BC. Vi løser likningen i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}A{B}^2& = & A{C}^2+B{C}^2\\ & & \\ & =& {\left(\frac{3}{5}BC\right)}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & 5.8^2={\left(\frac{3}{5}·\mathrm{BC}\right)}^2+{\mathrm{BC}}^2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=-4.97, \mathrm{BC}=4.97\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{AC}:=\frac{3}{5}·4.97\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx \mathrm{AC}:=2.98\end{array}} \end{gathered}$$

Vi får at $AC=3,0 \mathrm{og} BC=5,0$.