Hopp til innhold

Oppgaver og aktiviteter

Sinus, cosinus og tangens

Oppgavene nedenfor kan løses med alle hjelpemidler hvis det ikke står noe annet.

2.7.21

Finn lengden av siden AC i den rettvinklede trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel B er 32,0° og siden BC er 18,3.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 32,0 grader og siden B C er 18,3. Illustrasjon.
Vis fasit

Siden AC som vi skal finne, er motstående katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke sinus til vinkel B for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på sinus og løser i GeoGebra.

sinB=Motstående katetHypotenus=ACBC

sin32.0°=AC18.31NLøs:  {AC=9.7}

AC=9,7

2.7.22

Finn lengden av siden AB i den rettvinklede trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel B er 19,0° og siden BC er 13,4.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 19,0 grader og siden B C er 13,4. Illustrasjon.
Vis fasit

Siden AB som vi skal finne, er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel B for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

cosB=Hosliggende katetHypotenus=ABBC

cos19.0°=AB13.41NLøs:  {AB=12.67}

AB=12,7

2.7.23

Finn lengden av siden AC i den rettvinklede trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel C er 47,0° og siden BC er 18,3.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel C er 47,0 grader og siden B C er 18,3. Illustrasjon.
Vis fasit

Siden AC som vi skal finne, er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel C for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

cosC=ACBC

cos47.0°=AC18.31NLøs:  {AC=12.48}

AC=12,5

2.7.24

Finn lengden av siden AB i den rettvinklede trekanten ABC under, der vinkel C er 90°, vinkel A er 72,0° og siden BC er 274 m.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel C er 90 grader, vinkel A er 72,0 grader og siden B C er 274 meter. Illustrasjon.
Vis fasit

Siden AB som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke sinus til vinkel A for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på sinus og løser i GeoGebra.

sinA=BCAB

sin72.0°=274AB1NLøs:  {AB=288.1}

AB=288 m

2.7.25

Finn ukjente sider og vinkler i den rettvinklede trekanten ABC, der vinkel B er 90°, vinkel A er 26,6° og siden BC er 274 m.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel B er 90 grader, vinkel A er 26,6 grader og siden B C er 274 meter. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke sinus til vinkel A for å finne AC.

Den ukjente siden AB, som er hosliggende katet, kan vi finne på samme måte med tangens til vinkel A (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og tangens og løser i GeoGebra.

sinA = BCACtanA=BCAB

sin26.6°=274AC1NLøs:  {AC=611.94}tan26.6°=274AB2NLøs:  {AB=547.17}C:=90-26.63  C:=63.4

AC = 612 mAB= 547 m

C=63,4°

2.7.26

Finn de ukjente sidene i trekantene under.

a)

Rettvinklet trekant A B C der vinkel B er 90 grader, vinkel C er 61,5 grader og siden A C er 3,5. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjente siden AB som vi skal finne, er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte siden AC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AB.

Den ukjente siden BC, som er hosliggende katet, kan vi finne tilsvarende med cosinus til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AB).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

sinC = ABACcosC=BCAC

sin61.5°=AB3.51NLøs:  {AB=3.08}cos61.5°=BC3.52NLøs:  {BC=1.67}

AB = 3,1

BC=1,7

b)

Rettvinklet trekant A B C der vinkel B er 90 grader, vinkel C er 50,1 grader og siden A B er 3,1. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden AB er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjente siden BC, som er hosliggende katet, kan vi finne tilsvarende med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

sinC = ABACtanC=ABBC

sin50.1°=3.1AC1NLøs:  {AC=4.04}tan50.1°=3.1BC2NLøs:  {BC=2.59}

AC=4,0

BC=2,6

c)

Rettvinklet trekant A B C der vinkel B er 90 grader, vinkel C er 63,3 grader og siden B C er 1,6. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke cosinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjente siden AB, som er motstående katet, kan vi finne tilsvarende med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

cosC = BCACtanC=ABBC

cos63.3°=1.6AC1NLøs:  {AC=3.56}tan63.3°=AB1.62NLøs:  {AB=3.18}

AC=3,6

AB=3,2

2.7.27 (uten hjelpemidler)

I trekanten ABC under er  sinA=35  og  AB=5,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel C er 90 grader og siden A B er 5,0. I tillegg er sinus til vinkel A lik 3 femdeler. Illustrasjon.

a) Bestem lengden til BC og AC.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A i trekanten.

sinA = BCAB35=BC5,0BC=3,0

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

AC2 = AB2-BC2=5,02-3,02=25,0-9,0=16,0AC=4,0

b) Bestem  cosA  og  tanA.

Vis fasit

cosA = ACAB=45tanA=BCAC=34

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

sinB = cosA=45cosB=sinA=35tanB=ACBC=43

2.7.28 (uten hjelpemidler)

I trekanten ABC under er  cosB=25  og  AB=2,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader og siden A B er 5,0. I tillegg er cosinus til vinkel B lik 2 femdeler. Illustrasjon.

a) Bestem lengden til BC og AC. Oppgi svarene eksakt.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til cosinus på vinkel B.

cosB = ABBC25=2,0BCBC=5,0

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

AC2 = BC2-AB2=5,02-2,0225,0-4,0=21,0AC=21,0

b) Bruk eksakte verdier og bestem  sinB  og  tanB.

Vis fasit

sinB = ACBC=215tanB=ACAB=212

c) Bestem  sinC, cosC  og  tanC.

Vis fasit

cosC = sinB=ACBC=215sinC=cosB=25tanC=ABAC=2,021,0=22121

2.7.29 (uten hjelpemidler)

I trekanten under er  sinA=15  og  AB=20,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel C er 90 grader og siden A B er 20,0. I tillegg er sinus til vinkel A lik 1 femtedel. Illustrasjon.

a) Bestem lengden til BC og AC.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A.

sinA = BCAB15=BC20,0BC=4,0

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

AC2 = AB2-BC2AC2=20,02-4,02=400-16AC=384AC=4·4·4·6AC=86

b) Bruk eksakte verdier og bestem  cosA  og  tanA.

Vis fasit

cosA = ACAB=8620=265tanA=BCAC=486=62·6=612

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

cosB = sin A=15sinB=cos A=265tanA=ACBC=864=26

2.7.30 (uten hjelpemidler)

I trekanten ABC er  sinC=13  og  AB=2,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader og siden A B er 2,0. I tillegg er sinus til vinkel C lik 1 tredjedel. Illustrasjon.

a) Bestem lengden til AC og BC. Oppgi svarene eksakt.

Vis fasit

Vi finner først BC ved å bruke definisjonen til sinus på vinkel C.

sinC=ABBC13 = 2,0BCBC·1=2,0·3BC=6,0

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

AC2 = BC2-AB2=6,02-2,02=36,0-4,0=32,0AC=32=16·2=42

b) Bruk eksakte verdier og bestem  cosC  og  tanC.

Vis fasit

cosC = ACBC=426=223tanC=ABAC=242=24

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

cosB = sinC=13sinB=cosC=223tanB=ACAB=422=22

2.7.31 (uten hjelpemidler)

Gitt den rettvinklede trekanten ABC, se figuren.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader, siden A B er 2,0, siden A C er 9,8 og siden B C er 10. Illustrasjon.

a) Bestem  sinC  og  cosC.

Vis fasit

sinC = 2,010=0,2cosC=9,810=0,98

b) Bestem  tanB, sinB  og  cosB.

Vis fasit

tanB = 9,82,0=4,9cosB=sinC=2,010=0,2sinB=cosC=9,810=0,98

2.7.32

Regn ut hvor store hver av de ukjente vinklene i den rettvinklede trekanten ABC under er.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel B er 90 grader, siden A B er 9,2 og siden A C er 12,4. Illustrasjon.
Vis fasit

Vi har oppgitt begge vinkelbeina til vinkel A. Siden AB er hosliggende katet, og siden AC er hypotenus i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel A.

Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

cosA=ABAC

acosd9.212.41  42.1°C:=90-42.12  C:=47.9

A = 42,1°C=47,9°

2.7.33

En stige på 8,5 meter står opp mot en husvegg slik at stigen danner vinkelen 72 grader med bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90 grader. Illustrasjon.

En 8,5 meter lang stige står mot en husvegg og danner vinkelen 72° med bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90°.

a) Hvor høyt står stigen på veggen?

Vis fasit

Vi kaller høyden for h. Høyden opp langs veggen blir motstående katet til vinkelen på 72°. Stigen blir hypotenusen. Da kan vi bruke definisjonen av sinus til vinkelen på 72° for å løse oppgaven, som vi løser med GeoGebra.

sin72°=h8.51NLøs:  {h=8.08}

h=8,1 m

b) Hvor langt fra veggen står stigen?

Vis fasit

La avstanden til veggen være x, som blir hosliggende katet til vinkelen på 72°. Da passer det å bruke cosinus, og vi løser oppgaven med GeoGebra.

cos72°=x8.52NLøs:  {x=2.63}

x=2,6 m

2.7.34

I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 27°. Den hosliggende kateten til denne vinkelen er 3,5 meter. Finn lengden av den andre kateten og hypotenusen.

Vis fasit

Vi kaller den andre kateten for k og hypotenusen for h. Når vi kjenner den hosliggende kateten til vinkelen, kan vi bruke tangens for å finne k og cosinus for å finne h. Vi løser oppgaven med GeoGebra.

tan27°=k3.51NLøs:  {k=1.78}cos27°=3.5h2NLøs:  {h=3.93}

k = 1,8 mh=3,9 m

CC BY-SASkrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen.
Sist faglig oppdatert 27.08.2019

Læringsressurser

Trigonometri