Hopp til innhold

Fagartikkel

Tallsystemer. Det binære tallsystemet

Gjennom hverdagen bruker vi tall mange ganger. Som oftest bruker vi titallsystemet, men vi har også andre tallsystemer som vi bør vite om hvis vi skal arbeide innen IT-, elektro- eller mediebransjen.

LK20
Tilfeldige tall plassert hulter til bulter. Illustrasjon.

Hvor mange tallsystemer bruker du per dag? Bruk et par sekunder på å tenke deg om.

Du bruker helt sikkert minst to tallsystemer hver dag, for eksempel titallsystemet for utregning av penger og antall og sekstitallsystemet hver gang du bruker ei klokke. Vi har jo 60 sekunder i et minutt og 60 minutter i en time. Når vi bruker datamaskiner, må vi også forholde oss til noen flere tallsystemer, blant annet det binære tallsystemet (totallsystemet), som vi skal gå gjennom her. Først ser vi på det tallsystemet vi kjenner best: titallsystemet.

Titallsystemet (det desimale tallsystemet)

Titallsystemet er det tallsystemet vi mennesker bruker mest i hverdagen. Vi lærer det som barn, men vi tenker lite over hvordan det fungerer. Derfor er det et godt eksempel å starte med. Grunnen er at de andre tallsystemene vi bruker, er bygd opp på samme måte, men de har færre eller flere tallsymboler eller sifre.

Vi har ti forskjellige sifre i titallsystemet:

Titallsystemet
0123456789

Hvis vi trenger et høyere tall enn ni, løser vi dette med å bruke flere sifre. I eksempelet under starter vi på tallet 7 og øker verdien med 1 for hver linje nedover. Når vi når verdien 9, har vi brukt opp de tilgjengelige symbolene og må bruke to sifre for å vise tallet som er én større enn ni. Vi legger en ener i tier-posisjonen og går tilbake til null i ener-posisjonen. Vi kaller derfor titallsystemet for et posisjonsbasert tallsystem eller et plassverdisystem.

I tabellen nedenfor, som starter på tallet 7, viser vi dette.

tusen

hundre

tier

ener

7

8

9

1

0

1

1

1

2

9

8

99
100
101
102

I tallet 12 står derfor sifferet 1 for 10 siden det står på tierplassen og sifferet 2 for 2 (siden det står på enerplassen). Når vi har brukt opp alle mulige kombinasjoner med to sifre, har vi kommet til tallet 99. I tallet 99 står det første nitallet for 9 tiere, eller 90, og det andre for 9 enere, eller 9. For å få én mer må vi bruke tre sifre og får 100. I tallet 102 står sifferet 1 på hundrerplassen og betyr 100 og sifferet 2 på enerplassen (og betyr 2).

Fordi vi er så vant til å bruke titallsystemet, tenker vi sjelden over det, men når vi leser et tall, deler vi det opp. For eksempel leser vi tallet 1 233 som 1 tusen, 2 hundre, 3 tiere og 3 enere. Med matematikksymboler kan vi skrive tallet som regnestykket

1 233 = 1·1 000+2·100+3·10+3·1= 1·103+2·102+3·101+1·100

Dette kalles også å skrive tallet 1 233 på utvidet form. I den andre linja har vi brukt potenser med 10 som grunntall i stedet for å skrive 1 000, 100 og så videre. Legg merke til at 10=101 og 1=100. Med denne skrivemåten får vi at eksponentene til tierpotensene øker med 1 for hvert ledd når vi går mot venstre i regnestykket. I titallsystemet bruker vi potenser av 10. I andre posisjonsbaserte tallsystemer får vi potenser med andre grunntall.

Skriv inn tallet 1 233 i tabellen nedenfor ved å plassere ett siffer i hver kolonne.

Tierpotens104103102101100
Siffer
1 233 i tabell
Tierpotens104103102101100
Siffer1233

Hva blir tallet 734 skrevet på utvidet form med potenser?

734 på utvidet form

734 = 7·100+3·10+4·1= 7·102+3·101+4·100

Totallsystemet (det binære tallsystemet)

En skjerm fylt med rader med enere og nuller. Illustrasjon.

Datamaskiner bruker ikke titallsystemet internt, men totallsystemet. Dette er et tallsystem der vi bare har to symboler. Vi kaller dette det binære tallsystemet. I dette tallsystemet har vi bare to symboler: 0 og 1.

Totallsystemet
01

10 i totallsystemet betyr ikke det samme som 10 i titallsystemet. For å vise at vi mener 10 i totallsystemet, skriver vi 102, det vil si at vi setter på et lite totall nede til høyre.

På samme måte som med titallsystemet bruker vi tallposisjonen hvis vi trenger å beskrive en høyere verdi enn det vi har sifre til. Vi begynner å telle:

En: 12. Dette er det samme som 1 i titallsystemet.

To: Vi må bruke to sifre siden vi ikke har flere enn to ulike symboler (0 og 1). Da får vi 102. Dette blir tilsvarende som når vi kommer til 9 i titallsystemet og må bruke to sifre for å få én mer (10).

Tre: Vi øker fra to til tre ved å la nulltallet til høyre bli til 1: 112.

Fire: Da har vi ikke flere sifre, og vi må bruke tre sifre for å lage én mer enn tre. Vi får 1002.

Nedenfor har vi oppsummert resultatene over. Vi har plassert ett siffer i hver kolonne i tabellen for tallene i totallsystemet. Klarer du å fylle ut resten av tabellen?

Pos. 4Pos. 3Pos. 2Pos. 1Titallsystemet
11
102
113
1004
5
6
7
8
9
10
De ti første tallene i totallsystemet
Pos. 4Pos. 3Pos. 2Pos. 1Titallsystemet
11
102
113
1004
1015
1106
1117
10008
10019
101010

Vi får for eksempel at 9=1 0012.

I titallsystemet kaller vi posisjonene enerplassen, tierplassen, hundrerplassen og så videre. Posisjonene blir alltid ti ganger mer verdt når vi går én posisjon til venstre. Siden vi bare har to tallverdier i totallsystemet, blir hver posisjon verdt to ganger verdien av den til høyre. Til venstre for enerplassen får vi derfor toerplassen, som tilsvarer 21, deretter firerplassen (22), åtterplassen (23) og så videre.

Hva blir "verdien" til de to neste posisjonene i totallsystemet?

Verdiene til posisjonene i totallsystemet

Vi fortsetter å doble tallene. Etter 1, 2, 4 og 8 får vi derfor 16=24 og 32=25.

Skriv 1 0012 på utvidet form med potenser. (Husk at her må du bruke potenser der grunntallet er 2.)

1001₂ på utvidet form

1 0012 = 1·8+0·4+0·2+1·1= 1·23+0·22+0·21+1·20

Omgjøring fra totallsystemet til titallsystemet

Informasjonen over kan vi bruke til å gjøre om et tall fra totallsystemet til titallsystemet. Hvis vi tar det binære tallet 101 0002 og legger det inn i tabellen under, kan vi enkelt gjøre det om til titallsystemet.

32

16

8

4

2

1

1

0

1

0

0

0

Den første eneren har derfor verdien 32 i titallsystemet siden den bidrar med 1·32=32. Den neste eneren har verdien 8. Tallet 101 0002 er derfor 32+8=40 i titallsystemet. Merk at vi ikke får noe bidrag på 16, 4, 2 eller 1 siden sifferet der er 0.

40 i titallsystemet er derfor 101 000 i det totallsystemet. Matematisk blir det 40=101 0002.

Hvor mye er 10 1102 i titallsystemet?

10 110 i totallsystemet omgjort til titallsystemet

Vi kan bruke tabellen nedenfor til omgjøringen.

16

8

4

2

1

1

0

1

1

0

Vi får

10 1102 = 1·16+1·4+1·2= 16+4+2= 22

Omgjøring fra titallsystemet til totallsystemet

I titallsystemet betyr tallet 321 at vi har 3 hundrere, 2 tiere og 1 ener. I totallsystemet må vi helt tilsvarende finne ut hvor mange enere, toere, firere, åttere og så videre vi har.

Vi skal gjøre om 22 til totallsystemet. Vi kan bruke følgende rutine, eller algoritme:

  • 22 er mindre enn 32 og større enn 16. Vi skal derfor ha én "sekstener" når 22 skal skrives som binært tall. Da står vi igjen med 22-16=6.

  • 6 er mindre enn 8 og større enn 4. Vi skal derfor ha ingen åttere, men én firer. Da står vi igjen med 6-4=2.

  • Vi skal ha én toer. Da står vi igjen med 2-2=0, og skal derfor ikke ha noen enere.

Nedenfor har vi satt opp resultatet i en tabell.

16

8

4

2

1

1

0

1

1

0

Resultatet blir 22=10 1102.

Hva blir 39 i totallsystemet?

39 i totallsystemet

Vi bruker algoritmen fra eksempelet.

  • 39 er større enn 32 og mindre enn 64. Vi skal derfor ha én "trettitoer". Da står vi igjen med 39-32=7.

  • 7 er mindre enn både 16 og 8, og det er større enn 4. Vi skal derfor ha ingen "sekstenere" eller åttere, men én firer. Da står vi igjen med 7-4=3.

  • 3 er større enn 2. Vi skal derfor ha én toer. Da står vi igjen med 3-2=1, og vi skal derfor ha én ener.

Nedenfor har vi satt opp resultatet i en tabell.

32

16

8

4

2

1

1

0

0

1

1

1

Resultatet blir 39=100 1112.

Andre tallsystemer

Sekstentallsystemet (det heksadesimale systemet)

I sekstentallsystemet har vi 16 sifre. Vi starter med de første ti, som er identisk med tallene fra titallsystemet. Når vi kommer over ni, tar vi i bruk bokstavene A–F:

Sekstentallsystemet
0123456789ABCDEF

Hva blir tallet 2C416 gjort om til titallsystemet?

2C4₁₆ gjort om til titallsystemet

Vi skriver tallet på utvidet form. Siden grunntallet i sekstentallsystemet er 16, får vi

2C416 = 2·162+12·161+4·160= 2·256+12·16+4·1= 70810

Du kan lese mer om sekstentallsystemet og andre tallsystemer nedenfor.

Sist oppdatert 11.08.2022
Skrevet av Tron Bårdgård og Bjarne Skurdal

Læringsressurser

Tallregning