Hopp til innhold

Oppgave

Nullpunkt med manuell bruk av halveringsmetoden

Å finne nullpunktene til en funksjon er ikke alltid like lett (uten GeoGebra). Kan vi lage et program selv som kan hjelpe oss med dette? Først må vi se hvordan vi kan bruke halveringsmetoden manuelt til dette.

LK20

Denne siden er lagd med inspirasjon fra et undervisningsopplegg av Tom Jarle Christiansen og Rune Mathisen.

Innledning

Tredjegradsfunksjonen f av x er lik en tredjedels x i tredje pluss en halv x i andre minus x minus 1 tegnet i et koordinatsystem og med markering av toppunktet, bunnpunktet, nullpunktene og skjæringspunktet med andreaksen. Skjermutklipp.

Tredjegradsfunksjon med toppunkt, bunnpunkt, nullpunkter og skjæringspunkter med andreaksen

På bildet ovenfor har vi brukt nullpunktsverktøyet i GeoGebra til å finne de tre nullpunktene til funksjonen

fx=13x3+12x2-x-1

For nullpunktet lengst til høyre er  x=1,6  en tilnærmet verdi. Når vi skal lage et program til å finne en tilnærmet verdi for et nullpunkt, må vi finne en måte å prøve og feile på der vi vet at vi systematisk kommer nærmere og nærmere det rette svaret.

Diskuter

Hva kjennetegner et nullpunkt sett bort ifra at  fx=0  for denne verdien?

Kommentar

For de fleste nullpunkter er det enten slik at grafen ligger under x-aksen til venstre for nullpunktet og over grafen til høyre for nullpunktet, eller det er motsatt. Det første gjelder for nullpunktet lengst til høyre over, mens det andre gjelder for nullpunktet i midten. Dette betyr også at grafen er stigende i et område rundt nullpunktet til høyre og synkende i et område rundt nullpunktet i midten.

Spørsmål

Gjelder regelen ovenfor for alle nullpunkter?

Svar

Dessverre gjelder ikke regelen for alle nullpunkter. Tenk på funksjonen

gx=x2

Der vet vi at funksjonen har ett nullpunkt for  x=0, men funksjonen kan aldri bli negativ siden den er et kvadrat. Regelen gjelder ikke fordi nullpunktet samtidig er et ekstremalpunkt. Funksjonen gx har et bunnpunkt for  x=0.

I den videre utgreiingen ser vi bort ifra slike nullpunkter.

Ideen her er å bruke at grafen enten ligger over x-aksen til høyre for nullpunktet og under grafen til venstre for nullpunktet, eller det er motsatt.

Spørsmål

Hvordan kan vi finne ut om grafen ligger over eller under x-aksen for en bestemt x-verdi?

Svar

Vi kan regne ut funksjonsverdien for denne x-verdien og se om verdien er positiv eller negativ. Er verdien positiv, vet vi at grafen ligger over x-aksen for denne x-verdien.

Manuell bruk av halveringsmetoden

Vi skal bruke halveringsmetoden til å gjette oss fram til nullpunktet til fx som ligger lengst til høyre. Vi gjør det manuelt nå i første omgang.

I halveringsmetoden må vi først ha et intervall som det "rette tallet" ligger i. Her betyr det at vi må finne et intervall for x som vi er sikre på at nullpunktet ligger innenfor. Dessuten må grafen til funksjonen fx ligge over x-aksen for det ene endepunktet av intervallet og omvendt for det andre endepunktet.

Oppgave

Hva er et passende intervall som oppfyller kravene over til nullpunktet lengst til høyre?

Løsningsforslag

Nullpunktet må ligge i intervallet [1.5, 2].

Kommentar: Dette er ikke det eneste rette svaret. Vi er vel også helt sikre på at nullpunktet ligger i intervallet [1.5, 1.9], for eksempel, men i oppgavene nedenfor bruker vi [1.5, 2] som startintervall.

Oppgave

Når vi bruker halveringsmetoden, gjetter vi alltid på den verdien som ligger midt i det aktuelle intervallet, det vi kaller midtpunktet til intervallet.

Hvilken x-verdi gjetter vi på når intervallet er [1.5, 2]? Hvordan kan vi regne ut denne verdien?

Løsning

Tallet som er midt i mellom 1.5 og 2, er 1,75. Det kan vi regne oss fram til ved å finne gjennomsnittet (middelverdien) av de to tallene.

1,5+22=3,52=1,75

Spørsmål

Hvordan finner vi ut om  x=1,75  er større eller mindre enn nullpunktet?

Svar

Vi må finne ut om grafen ligger over eller under x-aksen for  x=1,75. En annen måte å si det på er at vi må sjekke om  f1,75<0  eller om  f1,75>0. Vi må altså regne ut f1,75.

Vi kan bruke CAS i GeoGebra til å regne ut f1,75.

fx:=13x3+12x2-x-11 fx:=13x3+12x2-x-1  f1.752 0.568

Siden svaret på linje 2 i CAS ble 0,57, vet vi at grafen ligger over x-aksen når  x=1,75. Da vet vi samtidig at vi er til høyre for nullpunktet ved denne x-verdien.

Spørsmål

Hva blir det nye intervallet vi skal lete etter nullpunktet i?

Svar

Det nye intervallet vi skal lete etter nullpunktet i, blir [1.5, 1.75]. (Nullpunktet kan ikke være større enn 1,75.)

Spørsmål

Hva blir den nye x-verdien vi gjetter på?

Svar

Den nye x-verdien vi gjetter på, blir

1,5+1,752=3,252=1,625

Spørsmål

Er  x=1,625  større eller mindre enn nullpunktet?

Svar

Vi bruker CAS igjen og får

 f1.6253 0.126

Det betyr at vi fremdeles ligger til høyre for det virkelige nullpunktet.

Oppgave

Skriv en algoritme for hvordan vi går fram når vi bruker halveringsmetoden her.

Løsningsforslag
  • Vi regner ut midtpunktet i intervallet.
  • Vi regner ut funksjonsverdien til midtpunktet.
  • Dersom funksjonsverdien er mindre enn null, setter vi midtpunktet til å være den nye nedre grensa for intervallet.
  • Dersom funksjonsverdien er større enn null, setter vi midtpunktet til å være den nye øvre grensa for intervallet.

Oppgave

Til nå har vi gjort halveringsmetoden manuelt to ganger. Gjør halveringsmetoden én gang til manuelt.

Løsningsforslag

Vi får at

  1. det nye intervallet blir [1.5, 1.625]
  2. midtpunktet blir 1.5+1.62524 1.5625
  3. den nye funksjonsverdien blir  f$45 -0.07023

I den siste utregningen har vi brukt koden "$4" som betyr "svaret på linje 4", som altså er 1,5625. Den siste utregningen viser at grafen for  x=1,5625  ligger under x-aksen.

Spørsmål

Dersom vi skulle ha brukt halveringsmetoden én gang til, hva ville det nye intervallet ha vært da?

Svar

Siden grafen ligger under x-aksen for den siste x-verdien vi kom fram til, må vi nå bytte ut den nedre grensa i intervallet. Dersom vi skulle ha brukt halveringsmetoden enda en gang, ville intervallet nå ha vært [1.5625, 1.625].

Dersom vi runder av til én desimal, får vi nå det samme resultatet for både den øvre og den nedre grensa i intervallet: 1,6. Dette stemmer med opplysningene på bildet øverst på siden der nullpunktet er oppgitt som  x=1,6. Det neste spørsmålet er: Hvor mange ganger skal vi bruke halveringsmetoden før vi er fornøyde med resultatet? Når er det bra nok? Uansett vil vi ikke gjøre dette manuelt lenger, men lage et program som kan hjelpe oss.

Sist oppdatert 30.06.2020
Skrevet av Bjarne Skurdal

Læringsressurser

Samling av programmeringsoppgaver