Hopp til innhold

Fagstoff

Den deriverte til logaritmefunksjonen

Hvordan beviser vi at den deriverte til logaritmefunksjonen er en potensfunksjon?

Den deriverte til logaritmefunksjonen er en potensfunksjon:

fx=lnxf'x=1x=x-1

Bevis

Definisjonen på den naturlige logaritmen sier at ethvert positivt tall x kan skrives som e opphøyd i logaritmen til x. Det gir at

x=elnx

Når to funksjoner er like, er også deres deriverte funksjoner like. Vi deriverer venstre og høyre side av likningen over hver for seg:

Venstre side: x'=1

Vi bruker kjerneregelen

f(x)=g(u(x))f'(x)=g'(u)·u'(x)

til å derivere høyre side:

elnx'=eu'·u'=eu·u'=elnx·lnx'=x·lnx'

Da er

x·lnx' = 1(lnx)'=1x

Eksempel 1

fx=2lnxf'x=2·1xf'x=2x

Eksempel 2

fx = 2lnx2+2gu=2lnu           u=x2+2g'u=2·1u          u'x=2xf'x=g'u·u'xf'x=2·1x2+2·2xf'x=4xx2+2

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist faglig oppdatert 28.04.2021

Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon