Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.
1.10.20
Løs ulikhetene ved regning uten hjelpemidler.
a)
Vis fasit
Telleren er null når , det vil si når .
Nevneren er null når , det vil si når .
Det er bare for disse verdiene av at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene , og .
For får vi . Uttrykket er positivt.
For får vi . Uttrykket er negativt.
For får vi . Uttrykket er positivt.
Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken .
NB: Legg merke til at brøken ikke er definert for .
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at brøken er mindre enn null. Det er når
Løsning med CAS:
b) x+1x-1>2
Vis fasit
Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.
x+1x-1-2>0x+1x-1-2x-1x-1>0x+1-2x+2x-1>0-x+3x-1>0
Telleren er null når-x+3=0, det vil si når x=3.
Nevneren er null når x-1=0, det vil si når x=1.
Det er bare for disse verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,1⟩, ⟨1,3⟩ og ⟨3,→⟩.
For x=0 får vi 0+30-1=3-1. Uttrykket er negativt.
For x=2 får vi -2+32-1=11. Uttrykket er positivt.
For x=4 får vi -4+34-1=-13. Uttrykket er negativt.
Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken -x+3x-1.
NB: Legg merke til at brøken -x+3x-1 ikke er definert for x=1.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at
x+1x-1>2. Det er når -x+3x-1>0, og det er når
x∈⟨1,3⟩
Løsning med CAS:
x+1x-1>21Løs:1<x<3
c) 2x-2x-1≤1
Vis fasit
Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.
2x-2x-1-1≤02x-2x-1-x-1x-1≤02x-2-x+1x-1≤0x-1x-1≤0
Både telleren og nevneren er null når x-1=0, det vil si når x=1.
Det er bare for denne verdien av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,1⟩ og ⟨1,→⟩.
For x=0 får vi 0-10-1=-1-1. Uttrykket er positivt.
For x=2 får vi 2-12-1=11. Uttrykket er positivt.
Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken x-1x-1.
NB: Legg merke til at brøken x-1x-1 ikke er definert for x=1.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at 2x-2x-1≤1. Det er når x-1x-1≤0, og det skjer aldri.
Ulikheten har ingen løsning.
Løsning med CAS:
2x-2x-1≤11Løs:
Kommentar: Dette går det an å finne ut uten å tegne fortegnsskjema. Siden det står det samme i teller og nevner, kan brøken aldri få en annen verdi enn 1, ogg 1 er ikke mindre enn null.
d) 2x-2x-1≥2
Vis fasit
Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.
2x-2x-1-2≥02x-2x-1-2x-1x-1≥02x-2-2x+2x-1≥00x-1≥0
Telleren er alltid null.
Nevneren er null når x-1=0, det vil si når x=1.
Brøken 0x-1 er ikke definert for x=1. Ellers har den verdien null, og null er alltid større eller lik null. Ulikheten stemmer derfor for alle verdier av x unntatt for x=1. Vi får
L=ℝ\1
Løsning med CAS:
2x-2x-1≥21Løs:x=x
I skrivende stund ser det ikke ut som om GeoGebra håndterer denne spesielle ulikheten særlig godt.
1.10.21
Løs ulikhetene ved regning uten hjelpemidler.
a) x-1x+2<x+1
Vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Så finner vi nullpunktene til telleren og nevneren.
Vi må se når telleren er null. Vi kan for eksempel prøve å faktorisere ved å danne et fullstendig kvadrat. Vi får
-x2-2x-3=-x2+2x+3=-x2+2x+1+3-1=-x+12+2
Det som står inne i parentesen er alltid positivt. Telleren er derfor alltid negativ.
Nevneren er null når x+2=0, det vil si når x=-2.
Det er bare for denne verdien av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-2⟩ og ⟨-2,→⟩. Vi skriver bare (–) for telleren siden den alltid er negativ.
For x=-3 får vi --3+2=--1. Uttrykket er positivt.
For x=0 får vi -0+2=-2. Uttrykket er negativt.
Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken -x2-2x-3x+2.
NB: Legg merke til at brøken -x2-2x-3x+2 ikke er definert for x=-2.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x-1x+2<x+1. Det er når brøken -x2-2x-3x+2 er mindre enn null, og det er når
x∈⟨-2,→⟩
Løsning med CAS:
x-1x+2<x+11Løs:x>-2
b) 2x-12+x<2x-1
Vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
Telleren er null når x+1=0 og når x-12=0, det vil si når
x=-1 og når x=12.
Nevneren er null når 2+x=0, det vil si når x=-2.
Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-2⟩, ⟨-2,-1⟩, ⟨-1,12⟩ og ⟨12,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
For x=-3 får vi -2-3+1-3-122+-3=-·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-32 får vi -2-32+1-32-122+-32=-·-·-+. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi -20+10-122+0=-·+·-+. Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi -21+11-122+1=-·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken -2x+1x-122+x:
NB: Legg merke til at brøken -2x+1x-122+x ikke er definert for x=-2.
2x-12+x<2x-1 når x∈⟨-2,-1⟩∪⟨12,→⟩.
Løsning med CAS:
2x-12+x<2x-11Løs:-2<x<-1,x>12
c) 2x-13x≥x+2
Vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
Telleren er null når x+13=0 og når x+1=0, det vil si når
x=-13 og når x=-1
Nevneren er null når 3x=0, det vil si når x=0.
Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-1⟩, ⟨-1,-13⟩, ⟨-13,0⟩ og ⟨0,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
For x=-2 får vi -3-2+13-2+13·-2=-·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-12 får vi -3-12+13-12+13·-12=-·-·+-. Uttrykket er negativt.
For x=-14 får vi -3-14+13-14+13·-14=-·+·+-. Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi -31+131+13·1=-·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken -3x+13x+13x:
NB: Legg merke til at brøken -3x+13x+13x ikke er definert for x=0
2x-13x≥x+2 når x∈⟨←,-1]∪[-13,0⟩.
Løsning med CAS:
2x-13x≥x+21Løs:x≤-1,-13≤x<0
1.10.22 (Ikke for 1T-Y)
a) Vis at x=1 er en løsning av likningen 2x3+4x2-2x-4x+1=0.
Vis fasit
Vi setter x=1 inn i telleren og får
2·13+4·12-2·1-4=2+4-2-4=0
Brøken blir dermed lik null for x=1.
b) Løs likningen i a) ved regning uten hjelpemidler.
Vis fasit
Vi faktoriserer telleren. x-1 er en faktor i telleren, og vi utfører først polynomdivisjonen.
c) Løs ulikheten 2x3+4x2-2x-4x+1>0 ved regning uten hjelpemidler.
Vis fasit
Vi bruker det vi har funnet i b).
Telleren er null for x=-2, x=-1 og x=1.
Nevneren er null for x=-1.
Med uttrykket på venstre side på faktorisert form blir ulikheten
2x+2x+1x-1x+1>0
Det er bare for disse verdiene av x der teller eller nevner er null at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-2⟩, ⟨-2,-1⟩, ⟨-1,1⟩ og ⟨1,→⟩ og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.
For x=-3 får vi 2-3+2-3+1-3-1-3+1=-·-·--. Uttrykket er positivt. (Hvorfor tok vi ikke med 2-tallet i fortegnsvurderingen?)
For x=-32 får vi 2-32+2-32+1-32-1-32+1=+·-·--. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi 20+20+10-10+1=+·+·-+. Uttrykket er negativt.
For x=2 får vi 22+22+12-12+1=+·+·++. Uttrykket er positivt.
Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken 2x+2x+1x-1x+1.
Legg merke til at brøken 2x+2x+1x-1x+1 ikke er definert for x=-1.
Vi får til slutt
2x3+4x2-2x-4x+1>0 når x∈⟨←,-2⟩∪⟨1,→⟩.
Løsning med CAS:
2x3+4x2-2x-4x+1>01Løs:x<-2,x>1
d) Løs ulikheten -3x3-18x2-11x+402x+2≥2 ved regning uten hjelpemidler.
Tilleggsopplysninger
Når ulikheten er ordnet slik at det står null på høyre side, skal uttrykket på venstre side være null når x=-3.
Vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Så finner vi nullpunktene til telleren og nevneren.
Vi finner så nullpunktene til uttrykket-3x2-9x+12.
-3x2-9x+12=-3x2+3x-4=-3x+4x-1
Telleren har da nullpunktene
x=-4, x=-3 og x=1.
Nevneren er null for 2x+2=0, det vil si for x=-1.
Dersom vi bruker faktorisert form på telleren i uttrykket i den ordnede ulikheten over, får vi
-3x+4x+3x-12x+2≥0
Det er bare for disse verdiene av x der teller eller nevner er null at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-4⟩, ⟨-4,-3⟩, ⟨-3,-1⟩, ⟨-1,1⟩ og ⟨1,→⟩ og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.
For x=-5 får vi -3-5+4-5+3-5-12·-5+2=-·-·-·--. Uttrykket er negativt.
For x=-3,5 får vi -3-3,5+4-3,5+3-3,5-12·-3,5+2=-·+·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-1,5 får vi -3-1,5+4-1,5+3-1,5-12·-1,5+2=-·+·+·--. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi -30+40+30-12·0+2=-·+·+·-+. Uttrykket er positivt.
For x=2 får vi -32+42+32-12·2+2=-·+·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken -3x+4x+3x-12x+2.
Legg merke til at brøken -3x+4x+3x-12x+2 ikke er definert for x=-1.
Vi får til slutt
-3x+4x+3x-12x+2≥0 når x∈[-4,-3]∪⟨-1,1].
Løsning med CAS:
-3x3-18x2-11x+402x+2≥21Løs:-1<x≤1,-4≤x≤-3
(Hvorfor skal ikke –1 være med i løsningen?)
CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.