Hopp til innhold

Oppgave

Rasjonale ulikheter

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

LK20

1.10.20

Løs ulikhetene ved regning uten hjelpemidler.

a) x-12x+1<0

Vis fasit

Telleren er null når  x-1=0, det vil si når  x=1.

Nevneren er null når  2x+1=0, det vil si når  x=-12.

Det er bare for disse verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -12, -12, 1 og 1, .

For  x=-1  får vi  -1-12·-1+1=-2-1. Uttrykket er positivt.

For  x=0  får vi  0-12·0+1=-11. Uttrykket er negativt.

For  x=2  får vi  2-12·2+1=15. Uttrykket er positivt.

Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken  x-12x+1.

Fortegnslinje for uttrykket parentes x minus1 parentes slutt delt på parentes 2 x pluss 1 parentes slutt. Fortegnslinja er heltrukken fra x er lik minus uendelig til x er lik minus en halv, eksisterer ikke for x er lik minus en halv, stiplet fra x er lik minus en halv til x er lik 1, null når x er lik 1 og er heltrukken fra x er lik 1 til x er lik uendelig. Skjermutklipp.

NB: Legg merke til at brøken  x-12x+1  ikke er definert for  x=-12.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at brøken  x-12x+1  er mindre enn null. Det er når

x-12, 1

Løsning med CAS:

x-12x+1<01Løs: -12<x<1

b) x+1x-1>2

Vis fasit

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

x+1x-1-2 > 0          x+1x-1-2x-1x-1>0          x+1-2x+2x-1>0          -x+3x-1>0

Telleren er null når -x+3=0, det vil si når  x=3.

Nevneren er null når  x-1=0, det vil si når  x=1.

Det er bare for disse verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , 1, 1, 3 og 3, .

For  x=0  får vi  0+30-1=3-1. Uttrykket er negativt.

For  x=2  får vi  -2+32-1=11. Uttrykket er positivt.

For  x=4  får vi  -4+34-1=-13. Uttrykket er negativt.

Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken  -x+3x-1.

Fortegnslinje for uttrykket parentes x minus1 parentes slutt delt på parentes 2 x pluss 1 parentes slutt. Fortegnslinja er stiplet fra x er lik minus uendelig til x er lik 1, eksisterer ikke for x er lik 1, heltrukken fra x er lik 1 til x er lik 3, null når x er lik 3 og er stiplet fra x er lik 3 til x er lik uendelig. Skjermutklipp.

NB: Legg merke til at brøken  -x+3x-1  ikke er definert for  x=1.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at

x+1x-1>2. Det er når  -x+3x-1>0, og det er når

x1, 3

Løsning med CAS:

x+1x-1>21Løs: 1<x<3

c) 2x-2x-11

Vis fasit

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

2x-2x-1-1  0          2x-2x-1-x-1x-10          2x-2-x+1x-10          x-1x-10

Både telleren og nevneren er null når  x-1=0, det vil si når  x=1.

Det er bare for denne verdien av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , 1 og 1, .

For  x=0  får vi  0-10-1=-1-1. Uttrykket er positivt.

For  x=2  får vi  2-12-1=11. Uttrykket er positivt.

Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken  x-1x-1.

Fortegnslinje for uttrykket parentes x minus1 parentes slutt delt på parentes x minus 1 parentes slutt. Fortegnslinja er heltrukken fra x er lik minus uendelig til x er lik 1, eksisterer ikke for x er lik 1 og heltrukken fra x er lik 1 til x er lik uendelig. Skjermutklipp.

NB: Legg merke til at brøken  x-1x-1  ikke er definert for  x=1.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at  2x-2x-11. Det er når  x-1x-10, og det skjer aldri.

Ulikheten har ingen løsning.

Løsning med CAS:

2x-2x-111Løs: 

Kommentar: Dette går det an å finne ut uten å tegne fortegnsskjema. Siden det står det samme i teller og nevner, kan brøken aldri få en annen verdi enn 1, ogg 1 er ikke mindre enn null.

d) 2x-2x-12

Vis fasit

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

2x-2x-1-2  0          2x-2x-1-2x-1x-10          2x-2-2x+2x-10          0x-10

Telleren er alltid null.

Nevneren er null når  x-1=0, det vil si når  x=1.

Brøken  0x-1  er ikke definert for  x=1. Ellers har den verdien null, og null er alltid større eller lik null. Ulikheten stemmer derfor for alle verdier av x unntatt for  x=1. Vi får

L=\1

Løsning med CAS:

2x-2x-121Løs: x=x

I skrivende stund ser det ikke ut som om GeoGebra håndterer denne spesielle ulikheten særlig godt.

1.10.21

Løs ulikhetene ved regning uten hjelpemidler.

a) x-1x+2<x+1

Vis fasit

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Så finner vi nullpunktene til telleren og nevneren.

x-1x+2-x+1 < 0          x-1x+2-x+2x+1x+2<0          x-1-x2+3x+2x+2<0          -x2-2x-3x+2<0

Vi må se når telleren er null. Vi kan for eksempel prøve å faktorisere ved å danne et fullstendig kvadrat. Vi får

-x2-2x-3 = -x2+2x+3=-x2+2x+1+3-1=-x+12+2

Det som står inne i parentesen er alltid positivt. Telleren er derfor alltid negativ.

Nevneren er null når  x+2=0, det vil si når  x=-2.

Det er bare for denne verdien av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -2 og -2, . Vi skriver bare (–) for telleren siden den alltid er negativ.

For  x=-3  får vi  --3+2=--1. Uttrykket er positivt.

For  x=0  får vi  -0+2=-2. Uttrykket er negativt.

Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken  -x2-2x-3x+2.

Fortegnslinje for uttrykket parentes minus x i andre minus 2 x minus 3 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 parentes slutt. Fortegnslinja er heltrukken fra x er lik minus uendelig til x er lik minus 2, eksisterer ikke for x er lik minus 2 og er stiplet fra x er lik minus 2 til x er lik uendelig. Skjermutklipp.

NB: Legg merke til at brøken  -x2-2x-3x+2  ikke er definert for  x=-2.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at  x-1x+2<x+1. Det er når brøken  -x2-2x-3x+2  er mindre enn null, og det er når

x-2, 

Løsning med CAS:

x-1x+2<x+11Løs: x>-2

b) 2x-12+x<2x-1

Vis fasit

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

2x-12+x-2x-1 < 0          2x-12+x-2x-12+x2+x<0          2x-1-4x+2x2-2-x2+x<0          2x-1-4x-2x2+2+x2+x<0 -2x2-x+12+x<0 -2x2+12x-122+x<0 -2x+1x-122+x<0

Telleren er null når  x+1=0  og når  x-12=0, det vil si når

x=-1  og når  x=12.

Nevneren er null når  2+x=0, det vil si når  x=-2.

Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -2, -2, -1, -1, 12 og 12, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For  x=-3  får vi  -2-3+1-3-122+-3=-·-·--. Uttrykket er positivt.

For  x=-32  får vi  -2-32+1-32-122+-32=-·-·-+. Uttrykket er negativt.

For  x=0  får vi  -20+10-122+0=-·+·-+. Uttrykket er positivt.

For  x=1  får vi  -21+11-122+1=-·+·++. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken  -2x+1x-122+x:

Fortegnslinje for uttrykket minus 2 multiplisert med parentes x pluss 1 parentes slutt multiplisert med parentes x minus en halv parentes slutt delt på parentes 2 pluss x parentes slutt. Fortegnslinja er heltrukken fra x er lik minus uendelig til x er lik minus 2, eksisterer ikke for x er lik minus 2, er stiplet fra x er lik minus 2 til x er lik minus 1, null for x er lik minus 1, heltrukken fra x er lik minus 1 til x er lik en halv, null for x er lik en halv og stiplet fra x er lik en halv til x er lik uendelig. Skjermutklipp.

NB: Legg merke til at brøken  -2x+1x-122+x  ikke er definert for  x=-2.

2x-12+x<2x-1  når  x-2, -112, .

Løsning med CAS:

2x-12+x<2x-11Løs: -2<x<-1, x>12

c) 2x-13xx+2

Vis fasit

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

2x-13x-x+2  0          2x-13x-x+23x3x0          2x-1-3x2+6x3x0          2x-1-3x2-6x3x0 -3x2-4x-13x0 -3x2+43x+133x0 -3x+13x+13x0

Telleren er null når  x+13=0  og når  x+1=0, det vil si når

x=-13  og når  x=-1

Nevneren er null når  3x=0, det vil si når  x=0.

Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -1, -1, -13, -13, 0 og 0, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For  x=-2  får vi  -3-2+13-2+13·-2=-·-·--. Uttrykket er positivt.

For  x=-12  får vi  -3-12+13-12+13·-12=-·-·+-. Uttrykket er negativt.

For  x=-14  får vi  -3-14+13-14+13·-14=-·+·+-. Uttrykket er positivt.

For  x=1  får vi  -31+131+13·1=-·+·++. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken  -3x+13x+13x:

Fortegnslinje for uttrykket minus 3 multiplisert med parentes x pluss 1 tredjedel parentes slutt multiplisert med parentes x pluss 1 parentes slutt delt på  3  x. Fortegnslinja er heltrukken fra x er lik minus uendelig til x er lik minus 1, null for x er lik minus 1, er stiplet fra x er lik minus 1 til x er lik minus 1 tredjedel, null for x er lik minus 1 tredjedel, heltrukken fra x er lik minus 1 tredjedel til x er lik null, null for x er lik null og stiplet fra x er lik null til x er lik uendelig. Skjermutklipp.

NB: Legg merke til at brøken  -3x+13x+13x  ikke er definert for  x=0

2x-13xx+2  når  x, -1][-13, 0.

Løsning med CAS:

2x-13xx+21Løs: x-1, -13x<0

1.10.22 (Ikke for 1T-Y)

a) Vis at  x=1  er en løsning av likningen  2x3+4x2-2x-4x+1=0.

Vis fasit

Vi setter  x=1  inn i telleren og får

2·13+4·12-2·1-4=2+4-2-4=0

Brøken blir dermed lik null for  x=1.

b) Løs likningen i a) ved regning uten hjelpemidler.

Vis fasit

Vi faktoriserer telleren. x-1 er en faktor i telleren, og vi utfører først polynomdivisjonen.

(2x3+4x2-2x-4):(x-1)=2x2+6x+4 -(2x3-2x2)6x2-2x-4   -(6x2-6x)4x-4-(4x-4)0

Vi finner så nullpunktene til uttrykket  2x2+6x+4.

2x2+6x+4 = 2x2+3x+2=2x+2x+1

Telleren har da nullpunktene

x=-2,  x=-1  og  x=1.

Nevneren er null for  x=-1.

Likningen  2x3+4x2-2x-4x+1=0  har dermed løsningene

x=-2       x=1

Løsning med CAS:

2x3+4x2-2x-4x+1=01Løs: x=-2, x=1

c) Løs ulikheten  2x3+4x2-2x-4x+1>0  ved regning uten hjelpemidler.

Vis fasit

Vi bruker det vi har funnet i b).

Telleren er null for  x=-2,  x=-1  og  x=1.

Nevneren er null for  x=-1.

Med uttrykket på venstre side på faktorisert form blir ulikheten

2x+2x+1x-1x+1>0

Det er bare for disse verdiene av x der teller eller nevner er null at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -2, -2, -1, -1, 1 og 1,  og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.

For  x=-3  får vi  2-3+2-3+1-3-1-3+1=-·-·--. Uttrykket er positivt. (Hvorfor tok vi ikke med 2-tallet i fortegnsvurderingen?)

For  x=-32  får vi  2-32+2-32+1-32-1-32+1=+·-·--. Uttrykket er negativt.

For  x=0  får vi  20+20+10-10+1=+·+·-+. Uttrykket er negativt.

For  x=2  får vi  22+22+12-12+1=+·+·++. Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken  2x+2x+1x-1x+1.

Fortegnslinje for uttrykket 2 multiplisert med parentes x pluss 2 parentes slutt multiplisert med parentes x pluss 1 parentes slutt multiplisert med parentes x minus 1 parentes slutt delt på parentes x pluss 1. Fortegnslinja er heltrukken fra x er lik minus uendelig til x er lik minus 2, null for x er lik minus 2, er stiplet fra x er lik minus 2 til x er lik minus 1, eksisterer ikke for x er lik minus 1, stiplet fra x er lik minus 1 til x er lik 1, null for x er lik 1 og heltrukken fra x er lik 1 til x er lik uendelig. Skjermutklipp.

Legg merke til at brøken  2x+2x+1x-1x+1  ikke er definert for  x=-1.

Vi får til slutt

 2x3+4x2-2x-4x+1>0  når  x, -21, .

Løsning med CAS:

2x3+4x2-2x-4x+1>01Løs: x<-2, x>1

d) Løs ulikheten  -3x3-18x2-11x+402x+22  ved regning uten hjelpemidler.

Tilleggsopplysninger

Når ulikheten er ordnet slik at det står null på høyre side, skal uttrykket på venstre side være null når  x=-3.

Vis fasit

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Så finner vi nullpunktene til telleren og nevneren.

-3x3-18x2-11x+402x+2-2  0          -3x3-18x2-11x+402x+2-22x+22x+20          -3x3-18x2-11x+40-4x+42x+20          -3x3-18x2-15x+362x+20

Vi faktoriserer telleren. x+3 er en faktor i telleren siden uttrykket er null når  x=-3, og vi utfører først polynomdivisjonen.

(-3x3-18x2-15x+36):(x+3)=-3x2-9x+12 -(3x3- 9x2)-9x2-15x+36   -(-9x2-27x)12x+36-(12x+36)  0

Vi finner så nullpunktene til uttrykket -3x2-9x+12.

-3x2-9x+12 = -3x2+3x-4=-3x+4x-1

Telleren har da nullpunktene

x=-4,  x=-3  og  x=1.

Nevneren er null for  2x+2=0, det vil si for  x=-1.

Dersom vi bruker faktorisert form på telleren i uttrykket i den ordnede ulikheten over, får vi

-3x+4x+3x-12x+20

Det er bare for disse verdiene av x der teller eller nevner er null at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -4, -4, -3, -3, -1, -1, 1 og 1,  og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.

For  x=-5  får vi  -3-5+4-5+3-5-12·-5+2=-·-·-·--. Uttrykket er negativt.

For  x=-3,5  får vi  -3-3,5+4-3,5+3-3,5-12·-3,5+2=-·+·-·--. Uttrykket er positivt.

For  x=-1,5  får vi  -3-1,5+4-1,5+3-1,5-12·-1,5+2=-·+·+·--. Uttrykket er negativt.

For  x=0  får vi  -30+40+30-12·0+2=-·+·+·-+. Uttrykket er positivt.

For  x=2  får vi  -32+42+32-12·2+2=-·+·+·++. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken  -3x+4x+3x-12x+2.

Fortegnsskjema for uttrykket minus 3 multiplisert med parentes x pluss 4 parentes slutt multiplisert med parentes x pluss 3 parentes slutt multiplisert med parentes x minus 1 parentes slutt delt på parentes 2x pluss 2. Fortegnslinja er stiplet fra x er lik minus uendelig til x er lik minus 4, null for x er lik minus 4, er heltrukken fra x er lik minus 4 til x er lik minus 3, null for x er lik minus 3, er stiplet fra x er lik minus 3 til x er lik minus 1, eksisterer ikke for x er lik minus 1, heltrukken fra x er lik minus 1 til x er lik 1, null for x er lik 1 og heltrukken fra x er lik 1 til x er lik uendelig. Skjermutklipp.

Legg merke til at brøken  -3x+4x+3x-12x+2  ikke er definert for  x=-1.

Vi får til slutt

 -3x+4x+3x-12x+20  når  x[-4, -3]-1, 1].

Løsning med CAS:

-3x3-18x2-11x+402x+221Løs: -1<x1, -4x-3

(Hvorfor skal ikke –1 være med i løsningen?)

Sist oppdatert 02.06.2020
Skrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal

Læringsressurser

Ulikheter