Hopp til innhold

Fagartikkel

Ulikheter av andre grad

Hvordan løser vi ulikheter av andre grad?

LK20LK06

Gitt ulikheten

x2<5x-4

Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side.

x2-5x+4<0

Vi bruker så for eksempel abc-formelen og finner nullpunktene til uttrykket  x2-5x+4.

x2-5x+4  =  0           x=--5±-52-4·1·42·1           x=5±92           x=5±32           x1=4        x2=1

Vi vet nå at uttrykket  x2-5x+4  er lik 0 når  x=1  og når  x=4.
Det er bare for disse x-verdiene at uttrykket kan skifte fortegn.

Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle x-verdier i hvert av de tre intervallene  , 1,1, 4  og  4, . For å avgjøre om uttrykket er positivt eller negativt i hvert av intervallene, kan vi ta "stikkprøver" for en x-verdi i hvert intervall.

Vi vet at uttrykket kan faktoriseres slik at  x2-5x+4=x-4x-1. Det er lettest å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x2-5x+4=x-4x-1

For  x=0  får vi

0-40-1=-4·-1. Uttrykket er positivt.

For  x=2  får vi

2-42-1=-2·1. Uttrykket er negativt.

For  x=5  får vi

5-45-1=1·4. Uttrykket er positivt.

Det er ikke nødvendig å regne ut verdien i parentesene. Det som betyr noe, er fortegnene på parentesuttrykkene.

Utfordring!

Ser du at det egentlig er tilstrekkelig å regne ut kun én verdi? Kan du si hvorfor det er riktig?



For å få en oversikt over situasjonen, kan vi sette opp et såkalt fortegnsskjema. Det består av en tallinje som viser x-verdiene, og en fortegnslinje som viser fortegnet til uttrykket i de aktuelle intervallene. Heltrukket linje markerer at uttrykket er positivt i dette tallintervallet, og stiplet linje markerer at uttrykket er negativt. En "0" viser at uttrykket er lik null for denne x-verdien.

Fortegnslinje for x i andre minus 5 x pluss 4. Linjen er heltrukket fra x er lik minus uendelig til x er lik 1, null for x er lik 1, stiplet fra x er lik 1 til x er lik 4, null for x er lik 4 og heltrukket fra x er lik 4 til x er lik uendelig. Illustrasjon.

Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at  x2<5x-4. Det er det samme som å finne ut når  x2-5x+4<0. Ut fra fortegnslinjen er det nå lett å se løsningen på oppgaven.

Løsningen på oppgaven er at x må ligge mellom 1 og 4. Dette kan vi skrive som et intervall slik:

x1, 4

Skrivemåten betyr "x er med i intervallet ⟨1, 4⟩", altså intervallet fra 1 til 4. Alternativt kan vi skrive svaret som en dobbel ulikhet:

1<x<4

Den doble ulikheten sier at x skal være større enn 1 og samtidig mindre enn 4.

Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen x  = . Da vil det se ut som vist nedenfor.

x2<5x-41Løs:  {1<x<4}

Vi ser at GeoGebra skriver svaret som en dobbel ulikhet.

Vi kan også skrive ulikheten inn i kommandoen "Løs()".

Sist oppdatert 24.09.2019
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Ulikheter