Hopp til innhold

Oppgave

Ulikheter av andre grad

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

LK20LK06

1.10.10

Løs ulikhetene.

a) x2-4x-12<0

vis fasit

Denne ulikheten er ferdig ordna. Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side:

x2-4x-12 = 0x=-(-4)±(-4)2-4·1·(-12)2·1x=4±642x=4±82x1=-2    x2=6

Vi vet nå at uttrykket x²-4x-12 er lik 0 når x=-2 og når x=6. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -2, -2, 6 og 6, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x2-4x-12=(x+2)(x-6)For  x=-3  får vi  (-3+2)(-3-6)=(-1)·(-9)Uttrykket er positivt.For  x=0  får vi  (0+2)(0-6)=2·(-6)Uttrykket er negativt.For  x=7  får vi  (7+2)(7-6)=9·1   Uttrykket er positivt.


Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket x i andre minus 4 x minus 12 som viser at uttrykket er positivt fra minus uendelig til minus 2, negativt fra -2 til 6 og positivt fra 6 til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-4x-12<0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x2, 6.

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten x i andre minus 4 x minus 12 mindre enn 0. Utklipp.

b) x-4x2>0

vis fasit

Vi finner først nullpunktene:

x-4x2 = 0x(1-4x)=0x=0        1-4x=0x1=0      x2=14

Vi vet nå at uttrykket x-4x² er lik 0 når x=0 og når x=¼. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , 0, 0, 14 og 14, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x-4x2=x(1-4x)For  x=-1  får vi  -1(1-4·(-1))=(-1)·5     Uttrykket er negativt.For  x=-18  får vi  181-4·18=18·12                Uttrykket er positivt.For  x=1  får vi  1(1-4·1)=1·(-4)                  Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket x minus 4 x i andre som viser at uttrykket er negativt fra minus uendelig til 0, positivt fra 0 til en fjerdedel og negativt fra en fjerdedel til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x-4x²>0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x0, 14.

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten x minus 4 x i andre større enn 0. Utklipp.

c) 2x2+5x-30

vis fasit

Vi finner først nullpunktene:

2x2+5x-3 = 0x=-5±52-4·2·-32·2x=-5±74x1=-3      x2=12

Vi vet nå at uttrykket 2x²+5x-3 er lik 0 når x=-3 og når x=½. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -3,-3, ½, og 12, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

2x2+5x-3=2x+3x-12For  x=-4  får vi  2(-4+3)-4-12=2·(-1)·-92Uttrykket er positivt.For  x=0  får vi  2(0+3)0-12=2·3·-12                     Uttrykket er negativt.For  x=1  får vi  2(1+3)1-12=2·3·12                           Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket 2 x i andre pluss 5 x minus 3 som viser at uttrykket er positivt fra minus uendelig til minus 3, negativt fra minus 3 til en halv og positivt fra en halv til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at 2x²+5x-30. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x,-3]  [12,.

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten 2 x i andre pluss 5 x minus 3 større enn eller lik 0. Utklipp.

d) -x2-x+60

vis fasit

Vi finner først nullpunktene:

-x2-x+6 =  0x = 1±-12-4·-3·62·-1x=1±5-2x1=-3      x2=2

Vi vet nå at uttrykket x²-x-6 er lik 0 når x=-3 og når x=2. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -3, -3, 2 og 2, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

-x2-x+6=(x+3)x-2For  x=-4  får vi  -(-4+3)(-4-2)=(-1)·(-1)·(-6)     Uttrykket er negativt.For  x=0  får vi  -(0+3)(0-2)=(-1)·3·(-2)                    Uttrykket er positivt.For  x=3  får vi  -(3+3)(3-2)=(-1)·6·1                          Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket minus x i andre minus x pluss 6 som viser at uttrykket er negativt fra minus uendelig til minus 3, positivt fra minus 3 til 2 og negativt fra 2 til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-x-60. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x,-3]  [2,.

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten minus x i andre minus x pluss 6 mindre enn eller lik 0. Utklipp.

e) -3x2+27>0

vis fasit

Vi faktoriserer først uttrykket

-3x2+27=-3x2-9=-3(x-3)(x+3)

Vi vet nå at uttrykket -3x²+27 er lik 0 når x=-3 og når x=3. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -3, -3, 3 og 3, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For  x = -4  får vi  -3(-4+3)(-4+3)=(-3)·(-7)·(-1)     Uttrykket er negativt.For  x=0  får vi  -3(0+3)(0-3)=(-3)·3·(-3)                    Uttrykket er positivt.For  x=3  får vi  -3(3+3)(3-3)=(-3)·7·1                          Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket minus 3 x i andre pluss 27 som viser at uttrykket er negativt fra minus uendelig til minus 3, positivt fra minus 3 til 3 og negativt fra 3 til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at -3x²+27>0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x-3, 3.

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten minus 3 x i andre pluss 27 større enn 0. Utklipp.

1.10.11

Løs ulikhetene.

a) x2-8x+150

vis fasit

Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side.

x2-8x+15=0x = 8±64-4·1·152·1x=8±22x1=3    x2=5

Vi vet nå at uttrykket x²-8x+15 er lik 0 når x=3 og når x=5. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , 3, 3, 5 og 5, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For  x = 0  får vi  (0-3)(0-5)=(-3)·(-5)       Uttrykket er positivt.For  x=4  får vi  (4-3)(4-5)=1·(-1)             Uttrykket er negativt.For  x=6  får vi  (6-3)(6-5)=3·1                    Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket x i andre minus 8 x pluss 15 som viser at uttrykket er positivt fra minus uendelig til 3, negativt fra 3 til 5 og positivt fra 5 til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-8x+150. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x[3, 5].

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten x i andre minus 8 x pluss 15 mindre enn eller lik 0. Utklipp.

b) 1>x2

vis fasit

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

            1 > x2-x2+1>0

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

-x2+1 = 0-x2=-1x2=1x=-1    x=1

Vi vet nå at uttrykket -x²+1 er lik 0 når x=-1 og når x=1. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -1, -1, 1 og <1,  >.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For  x=-2  får vi  (-)(-2+1)(-2-1)=(-1)·(-1)·(-3)     Uttrykket er negativt.For  x=0  får vi  (-)(0+1)(0-1)=(-1)·1·(-1)     Uttrykket er positivt.For  x=2  får vi  (-)(2+1)(2-1)=(-1)·3·1                            Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket minus x i andre pluss 1 som viser at uttrykket er negativt fra minus uendelig til minus 1, positivt fra minus 1 til 1 og negativt fra 1 til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at -x²+1>0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x-1, 1.

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten 1 større enn x i andre. Utklipp.

c) -x-x2+6

vis fasit

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

-x  -x2+6x2-x-60

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

x2-x-6 = 0x=--1±-12-4·1·-6=1±1+242x1=-2    x2=3

Vi vet nå at uttrykket x²-x-6 er lik 0 når x=-2 og når x=3. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , -2, -2, 3 og 3, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x2-x-6=(x+2)(x-3)For  x=-3  får vi  (-3+2)(-3-3)=(-1)·(-6)     Uttrykket er positivt.For  x=0  får vi  (0+2)(0-3)=2·(-3)                     Uttrykket er negativt.For  x=4  får vi  (4+2)(4-3)=6·1                           Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket x i andre minus x minus 6 som viser at uttrykket er positivt fra minus uendelig til minus 2, negativt fra minus 2 til 3 og positivt fra 3 til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-x-60. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x[-2, 3].

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten minus x mindre enn eller lik minus x i andre pluss 6. Utklipp.

d) 1-2x-x2

vis fasit

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

1-2x  -x2x2-2x+10

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

x2-2x+1 = 0x=2±4-42x1=x2=1

Vi vet nå at uttrykket x²+2x+1 er lik 0 når x=1. Det er bare for denne verdien av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene , 1 og 1, .

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

Det er bare for denne verdien av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøve for x-verdi mindre enn 1 og x-verdi større enn 1.

x2-2x+2=(x-1)(x-1)For  x=0  får vi  (0-1)(0-1)=(-1)·(-1)         Uttrykket er positivt.For  x=3  får vi  (2-1)(2-1)=1·1                      Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Fortegnslinje for uttrykket x i andre minus 2 x pluss 1 som viser at uttrykket er positivt fra minus uendelig til 1 og positivt fra 1 til pluss uendelig. Utklipp.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-2x+10. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten er oppfylt for alle verdier av x.

Vi kunne også sett dette direkte da x²-2x+1=(x-1)². Dette uttrykket aldri kan bli negativt.

Løsning: x

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten 1 minus 2 x større enn eller lik minus x i andre. Utklipp.

Merk måten GeoGebra skriver løsningen på her.

e) 2x+3x2+5

vis fasit

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

-x2+2x-20

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

-x2+2x-2 = 0x=-2±4-8-2

Likningen har ingen reelle løsninger. Uttrykket kan ikke ha verdien 0. Det betyr at uttrykket enten er negativt hele tiden, eller positivt hele tiden. Hvis vi setter inn  x=0, har uttrykket verdien -2. Med andre ord, uttrykket  -x²+2x-2  vil være negativt for alle verdier av x.

Ulikheten spør etter når uttrykket er større eller lik 0. Det er det aldri, så ulikheten har ingen løsning.

Løsning med CAS:

CAS-løsning av ulikheten 2 x pluss 3 større enn eller lik x i andre pluss 5. Utklipp.

1.10.12

Løs ulikhetene i oppgavene ovenfor grafisk ved hjelp av et digitalt verktøy.

1.10.13

Forklar hvorfor ulikhetene ikke har noen løsning.

a) 1-x2>1

vis fasit

x² kan aldri bli negativ. Uttrykket 1-x² blir dermed aldri større enn 1.

b) 1-x2+1-x2<0

vis fasit

Verken (x+1)² eller (x-1)² kan bli mindre enn 0.

Sist oppdatert 23.06.2021
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Ulikheter