Hopp til innhold

Fagartikkel

Rasjonale ulikheter

Når vi skal løse en rasjonal likning, multipliserer vi først med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet for å få en likning uten brøker. Det kan vi ikke gjøre når vi har en brøkulikhet med x i nevner. Hvorfor?

LK20LK06

Problemet er at når vi har en brøkulikhet med x i nevner, vil nevneren være negativ for noen x-verdier og positiv for andre x-verdier. Da blir det vanskelig å forholde seg til regelen som sier at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer en ulikhet med et negativt tall.

Vi løser rasjonale ulikheter på tilsvarende måte som andregrads- og tredjegradsulikheter. Vi må samle alle ledd på den ene siden av ulikhetstegnet og faktorisere.

Eksempel

Vi skal løse ulikheten

x+12x-11 ,   x12

Vi må forutsette at x er forskjellig fra 12, for ellers får vi null i nevneren.

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side

   x+12x-1  1x+12x-1-10

Vi trekker sammen til én brøk og faktoriserer teller og nevner hvis nødvendig.

x+12x-1-1·2x-12x-1  0        x+1-2x+12x-10               2-x2x-10

Telleren er null når  2-x=0, det vil si når  x=2. Nevneren er null når  2x-1=0, det vil si når  x=12, som vi også slo fast i starten på eksempelet. Det er bare for disse to verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar «stikkprøver» og undersøker fortegnet til brøken i de aktuelle intervallene , -12, 12, 2 og 2, .

For  x=0  får vi

2-02·0-1=+2-1 Uttrykket er negativt.

For  x=1  får vi

2-12·1-1=+1+1 Uttrykket er positivt.

For  x=3  får vi

2-32·3-1=-1+5 Uttrykket er negativt.

Rasjonale ulikheter

Vi setter opp et fortegnsskjema for brøken  2-x2x-1. NB! Legg merke til at brøken  2-x2x-1 ikke er definert når nevneren blir 0. I fortegnsskjemaet markerer vi dette med to pilspisser som møtes eller et kryss for  x=12.

Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x brøken  x+12x-11, det vil si at  2-x2x-10. Løsningen på oppgaven blir at x må være større enn 12 og mindre enn eller lik 2,  x12, 2].

Merk at her kunne uttrykket vårt være null, og da tar vi med 2 i løsningen.

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning.

x+12x-111Løs:  12<x2

Sist oppdatert 03.03.2020
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Ulikheter