Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater

Hva er et fullstendig kvadrat, og hvordan kan vi faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater?

FooterHeaderIconFooter iconLK20FooterHeaderIconFooter iconLK06

Fullstendig kvadrat

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

For eksempel er uttrykket x2-6x+9 et fullstendig kvadrat fordi

x2-6x+9=x-32

Hvordan kan vi se om et andregradsuttrykk er et fullstendig kvadrat?

Vi bruker uttrykket x2-6x+9 som eksempel.

Kan uttrykket skrives som a2+2ab+b2=a+b2 eller a2-2ab+b2=a-b2?

  1. Første forutsetning er at andregradsleddet og konstantleddet er kvadratiske uttrykk med positivt fortegn. Det stemmer her, og vi finner at  a=x2=x  og  b=9=3.
  2. Videre må «det dobbelte produkt», det vil si 2ab, være lik 6x. Vi sjekker:  2ab=2·x·3=6x. Det stemmer.
  3. Førstegradsleddet er negativt. Det betyr at vi kan bruke andre kvadratsetning.
    Da er  x2-6x+9=x-32, og vi har et fullstendig kvadrat.

Oppgave

Undersøk om  x2+8x+16  og  x2-5x+25  er fullstendige kvadrater.

Å faktorisere ved å lage fullstendige kvadrater

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater, men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage et fullstendig kvadrat og så bruke konjugatsetningen.

Vi skal se på to eksempler hvor vi bruker denne metoden.

Eksempel 1

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket  x2+4x-5.
Vi må lage uttrykk på formen a2+2ab+b2=a+b2 eller a2-2ab+b2=a-b2.

  1. Andregradsleddet er et kvadratuttrykk, x2. Det gir  a=x2=x.
  2. Konstantleddet, 5, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
    Vi legger til og trekker fra kvadrattallet b2 til uttrykket og får
    x2+4x-5 =x2+4x+b2Fullstendig kvadrat-b2-5
    Dette gjør vi for å lage et fullstendig kvadrat av de tre første leddene.
  3. Vi må ha  2ab=4x. Vi kan da finne b:
    2ab = 4xb=4x2a=4x2x=2
  4. Vi får da
    x2+4x-5 =  x2+4x+22-4-5        Vi legger til og trekker fra 22.Fullstendig kvadrat                    =(x+2)2-9      Fullstendig kvadrat etter 1. kvadratsetning                    =(x+2)2-32       Vi bruker konjugatsetningen.                    =(x+2)+3·(x+2)-3                    =(x+5)·(x-1)

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått


x2+4x-5=x+5x-1

Eksempel 2

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket 2x2-8x-42.
Vi må lage uttrykk på formen a2+2ab+b2=a+b2 eller a2-2ab+b2=a-b2.

  1. Her er ikke andregradsleddet et kvadratuttrykk, men når vi setter faktoren 2 utenfor en parentes, så får vi et uttrykk der andregradsleddet er et kvadratuttrykk:
    2x2-8x-42 = 2x2-4x-21
  2. Vi faktoriserer parentesuttrykket. Andregradsleddet er x2. Det gir a = x2=x
  3. Konstantleddet, 21, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
    Vi legger til og trekker fra kvadrattallet b2 til uttrykket og får
    x2-4x-21 =x2-4x+b2Fullstendig kvadrat-b2-21
  4. Vi må ha  2ab=4x. Vi kan da finne b:
    2ab = 4x4x2a=4x2x=2
  5. Vi får da
    x2-4x-21 =  x2-4x+22-4-21        Vi legger til og trekker fra 22.Fullstendig kvadrat                    =(x-2)2-25      Fullstendig kvadrat etter 2. kvadratsetning                    =(x-2)2-52       Vi bruker konjugatsetningen.                    =((x-2)+5)·((x-2)-5)                    =(x+3)·(x-7)

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått

2x2-8x-42=2x2-4x-21=2x+3x-7

Sist oppdatert 07.05.2020
Tekst: Olav Kristensen og Stein Aanensen (CC BY-SA)

Læringsressurser

Faktorisering