Polynomfunksjonen som modell

Lag en funksjon for høyden av et rektangel med omkrets 24 cm og bredde $x$ cm. Lag en verditabell for denne funksjonen.

Vi kaller høyden i rektangelet for $$ h$$. Når bredden er $$ x$$, har vi at

$$ \begin{array}{rcl}2x+2h & =& 24\\ 2h & =& 24-2x\\ \frac{2h}{2} & =& \frac{24-2x}{2}\\ h & =& 12-x\end{array}$$

Vi får funksjonen  $$ h\left(x\right)=12-x$$. Vi lager deretter en verditabell.

Så tegner vi rektanglene.

Etter å ha valgt ett av verktøyene trykker du på ett av rektanglene, og enten kommer arealet eller omkretsen av rektangelet opp som en tekstboks. Se figuren i forrige oppgave.

Vi lager først en tabell over tallene vi skal bruke.

Vi legger tallene fra tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra og bruker verktøyet "Regresjonsanalyse". Da skal vi få fram et koordinatsystem med punktene som vist nedenfor.

Det ser ut som om punktene ligger langs en parabel, det vil si en andregradsfunksjon.

I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Deretter velger vi "Kopier til grafikkfeltet" for å få grafen til funksjonen over i det vanlige grafikkfeltet. Vi finner at funksjonen $A$ kan beskrives med andregradsuttrykket

$$ A\left(x\right)=-x^2+12x$$

Vi ser at grafen har toppunkt når  $x=6$. Arealet er altså størst når rektangelet er kvadratisk, det vil si når bredden er 6 cm. Arealet er da

$$ 6 \mathrm{cm}· 6 \mathrm{cm}=36 {\mathrm{cm}}^2$$

Ifølge modellen vi fant ovenfor, bør bonden gjerde inn et kvadratisk område. Sida i kvadratet blir fjerdeparten av 600 m, som er 150 m. Arealet blir da

$$ 150 \mathrm{m}·150 \mathrm{m}=22 500 {\mathrm{m}}^2$$

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra. Vi velger verktøyet "Regresjonsanalyse" og bruker polynom av grad 2 som regresjonsmodell.

Vi finner at funksjonen $h$ kan beskrives med uttrykket

$$ h\left(x\right)=-4,9x^2+14,1x+1,8$$

Vi kan se av grafen at ballen er 10 m over bakken etter cirka 0,8 s og etter cirka 2,1 s.

Alternativt kan vi legge inn linja  $$ y=10$$  i grafikkfeltet i GeoGebra og finne skjæringspunktene mellom grafen og linja.

Ballen treffer bakken der grafen skjærer $$ x$$-aksen. Vi ser av grafen at ballen treffer bakken etter cirka 3 s.

Her kunne vi også brukt verktøyet "Nullpunkt" eller løst likningen  $$ h\left(x\right)=0$$.

Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høyden!

Vi ser av grafen at ballen når sitt høyeste punkt etter cirka 1,4 s. Da har den en høyde på 12,0 m over bakken.

Alternativt kan vi løse oppgaven ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Vi finner at funksjonen $T$ kan beskrives med uttrykket

$$ T\left(x\right)=0,0234x^2-0,69x+2,6$$

Grafen passer nokså bra med de observerte temperaturene.

30 timer etter at målingen startet, det vil si kl. 18 neste dag, viser modellen en temperatur på cirka $$ 3 \mathrm{C}°$$.

48 timer etter at målingen startet, viser modellen en temperatur på cirka $$ 23 \mathrm{C}°$$. Det virker usannsynlig når temperaturen på natta var under null.

Modellen er realistisk i det døgnet Per foretok målingene. Går vi utover denne tida, virker modellen svært urealistisk. Etter modellen vil temperaturen bare stige utover.

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finner at funksjonen $$ h$$ kan beskrives med uttrykket

$$ h\left(x\right)=-0,066x^3+1,15x^2-4,19x-8,95$$

Vi ser at grafen treffer godt med de observerte verdiene.

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" på funksjonen $$ h$$ og får et toppunkt og et bunnpunkt, se figuren nedenfor.

Vi ser at grafen er lavere enn bunnpunktet dersom vi ser på etter kl. 13, men vi vet egentlig ikke hvor lavt det går eller hvor langt ut i tid modellen gjelder. Vi kan i alle fall si at mellom midnatt og kl. 12 var den laveste vannstanden minus 13,4 cm under middel vannstand, og det var kl. 2.15 på natta.

Vi må se hvor grafen har verdier over $$ -10$$. Vi kan se av grafen at fra litt før kl. 5 til litt etter kl. 12 kan båten gå til kai ved Tregde. Det er også noen minutter rett etter midnatt det vil være teoretisk mulig å legge til, men kanskje ikke i praksis.

Vi sjekker hvilken verdi vi får 24 timer etter midnatt.

1 døgn (24 timer) etter midnatt viser modellen et avvik på -360 cm fra middel vannstand. Det er urealistisk, så modellen er ikke gyldig fram i tid.

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra, velger "Regresjonsanalyse" og observerer punktene i regresjonsanalysevinduet. Punktene ser ut omtrent som på figuren nedenfor. Da kan en tredjegradsfunksjon passe.

I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finner at tredjegradsfunksjonen

$$ T\left(x\right)=-0,008x^3+0,261x^2-1,5x+18,3$$

passer godt som modell for temperaturutviklingen.

Vi observerer at modellen passer best fram til kl. 15. Så synker temperaturen raskere enn det modellen gir.

Modellen vi fant, beskriver temperaturen de første 24 timene etter midnatt på en god måte. Utover 24 timer er modellen ubrukelig. Etter 24 timer vil temperaturen ifølge modellen stadig gå nedover.