Polynomfunksjonen som modell
3.3.30
a) Bruk verktøyet "Mangekant" i GeoGebra til å tegne sju ulike rektangler. Alle rektanglene skal ha en omkrets på 24 cm. La -verdien være bredden på rektangelet. Velger du for eksempel at bredden skal være 4 cm, blir høyden 8 cm.
Tips til oppgaven
Lag en funksjon for høyden av et rektangel med omkrets 24 cm og bredde cm. Lag en verditabell for denne funksjonen.
Løsning
Vi kaller høyden i rektangelet for . Når bredden er
Vi får funksjonen
2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 11 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
10 | 8 | 7 | 6 | 5 | 3 | 1 |
Så tegner vi rektanglene.
b) Bruk verktøyet "Avstand eller lengde" (som ligger under knappen "Vinkel" på verktøyraden i GeoGebra) til å måle omkretsen av rektanglene. Bruk deretter verktøyet "Areal" til å måle arealet av rektanglene.
Løsning
Etter å ha valgt ett av verktøyene trykker du på ett av rektanglene, og enten kommer arealet eller omkretsen av rektangelet opp som en tekstboks. Se figuren i forrige oppgave.
c) Bruk regnearkdelen i GeoGebra, og skriv inn breddene på rektanglene i én kolonne og arealene av rektanglene i en annen. Marker tallene, og bruk verktøyet "Regresjonsanalyse". Får du fram tallene som punkter i et koordinatsystem? Vi tenker oss en kurve gjennom punktene. Hva slags kurve likner dette på?
Løsning
Vi lager først en tabell over tallene vi skal bruke.
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 11 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Areal | 20 | 32 | 35 | 36 | 35 | 27 | 11 |
Vi legger tallene fra tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra og bruker verktøyet "Regresjonsanalyse". Da skal vi få fram et koordinatsystem med punktene som vist nedenfor.
Det ser ut som om punktene ligger langs en parabel, det vil si en andregradsfunksjon.
d) Bruk regresjon og finn det andregradsuttrykket som passer best til punktene i tabellen. Tegn grafen til andregradsuttrykket. La
Løsning
I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Deretter velger vi "Kopier til grafikkfeltet" for å få grafen til funksjonen over i det vanlige grafikkfeltet. Vi finner at funksjonen
e) For hvilken verdi av
Løsning
Vi ser at grafen har toppunkt når
f) En bonde har 600 m gjerde til disposisjon. Han vil gjerde inn et rektangulært område til sauene sine. Hvordan bør bonden sette opp gjerdet dersom sauene skal få mest mulig plass å boltre seg på?
Løsning
Ifølge modellen vi fant ovenfor, bør bonden gjerde inn et kvadratisk område. Sida i kvadratet blir fjerdeparten av 600 m, som er 150 m. Arealet blir da
3.3.31
Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Tabellen viser ballens høyde
x, sekunder | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
h, høyde over bakken | 1,8 | 7,6 | 11 | 11,9 | 10,4 | 6,4 | 0 |
a) Bruk regresjon, og finn den andregradsfunksjonen som passer best til punktene i tabellen. Tegn grafen.
Løsning
Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra. Vi velger verktøyet "Regresjonsanalyse" og bruker polynom av grad 2 som regresjonsmodell.
Vi finner at funksjonen
b) Finn grafisk når ballen er 10 m over bakken.
Løsning
Vi kan se av grafen at ballen er 10 m over bakken etter cirka 0,8 s og etter cirka 2,1 s.
Alternativt kan vi legge inn linja
c) Når treffer ballen bakken?
Løsning
Ballen treffer bakken der grafen skjærer
Her kunne vi også brukt verktøyet "Nullpunkt" eller løst likningen
d) Når er ballen 15 m over bakken?
Løsning
Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høyden!
e) Hvor høyt når ballen, og når er ballen på sitt høyeste punkt?
Løsning
Vi ser av grafen at ballen når sitt høyeste punkt etter cirka 1,4 s. Da har den en høyde på 12,0 m over bakken.
Alternativt kan vi løse oppgaven ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.
3.3.32
Per målte temperaturen ute hver fjerde time gjennom et døgn. Tabellen viser klokkeslett med tilhørende temperatur
Klokkeslett | 14.00 | 18.00 | 22.00 | 02.00 | 06.00 | 10.00 | 14.00 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Temperatur T i °C | 2,5 | 0,3 | -1,4 | -2,0 | -2,6 | -2,1 | -0,2 |
a) Bruk regresjon og finn den andregradsfunksjonen som passer best til punktene i tabellen. La
Løsning
Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Vi finner at funksjonen
b) Hvordan passer grafen med temperaturmålingene?
Løsning
Grafen passer nokså bra med de observerte temperaturene.
c) Hva vil temperaturen ifølge modellen være 30 timer etter at Per startet målingene?
Løsning
30 timer etter at målingen startet, det vil si kl. 18 neste dag, viser modellen en temperatur på cirka
d) Hva vil temperaturen ifølge modellen være 48 timer etter at Per startet målingene? Vurder hvor realistisk modellen er.
Løsning
48 timer etter at målingen startet, viser modellen en temperatur på cirka
Modellen er realistisk i det døgnet Per foretok målingene. Går vi utover denne tida, virker modellen svært urealistisk. Etter modellen vil temperaturen bare stige utover.
3.3.33
Tabellen viser observert vannstand på Tregde 1. februar 2008. Observert vannstand er i cm over middelvann (middel vannstand). I tabellen er
x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
h | -9 | -13 | -12 | -6 | -3 | -1 | -7 |
a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn det tredjegradsuttrykket som passer best med verdiene i tabellen.
Løsning
Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 3 som regresjonsmodell.
Vi finner at funksjonen
Vi ser at grafen treffer godt med de observerte verdiene.
b) Når var vannstanden lavest?
Løsning
Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" på funksjonen
Vi ser at grafen er lavere enn bunnpunktet dersom vi ser på etter kl. 13, men vi vet egentlig ikke hvor lavt det går eller hvor langt ut i tid modellen gjelder. Vi kan i alle fall si at mellom midnatt og kl. 12 var den laveste vannstanden minus 13,4 cm under middel vannstand, og det var kl. 2.15 på natta.
c) En større båt skal legge til kai i nærheten av Tregde. Båten kan ikke komme inn til kaien dersom vannstanden avviker mer enn
Løsning
Vi må se hvor grafen har verdier over
d) Vurder gyldigheten til modellen lenger fram i tid.
Løsning
Vi sjekker hvilken verdi vi får 24 timer etter midnatt.
1 døgn (24 timer) etter midnatt viser modellen et avvik på -360 cm fra middel vannstand. Det er urealistisk, så modellen er ikke gyldig fram i tid.
3.3.34
Tabellen viser temperatursvingningene gjennom et flott sommerdøgn i Mandal. Temperaturen
x | 0 | 1 | 4 | 7 | 9 | 10 | 12 | 13 | 15 | 17 | 20 | 22 | 24 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T (°C) | 19 | 17 | 15 | 17 | 19 | 21 | 25 | 26 | 27 | 26 | 24 | 22 | 18 |
a) Hvilken matematisk modell tror du kan passe med disse punktene?
Løsning
Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra, velger "Regresjonsanalyse" og observerer punktene i regresjonsanalysevinduet. Punktene ser ut omtrent som på figuren nedenfor. Da kan en tredjegradsfunksjon passe.
b) Finn en matematisk modell som beskriver temperaturen i Mandal dette døgnet.
Løsning
I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.
Vi finner at tredjegradsfunksjonen
passer godt som modell for temperaturutviklingen.
Vi observerer at modellen passer best fram til kl. 15. Så synker temperaturen raskere enn det modellen gir.
c) Vurder gyldigheten til modellen du fant ovenfor når vi lar tida
Løsning
Modellen vi fant, beskriver temperaturen de første 24 timene etter midnatt på en god måte. Utover 24 timer er modellen ubrukelig. Etter 24 timer vil temperaturen ifølge modellen stadig gå nedover.