Modellering med andregradsfunksjoner

Siden summen av de to veggene er 2 m og den ene er $x$, må den andre være $2-x$.

Arealet er produktet av lengde og bredde, og vi får

$A\left(x\right)=x\left(2-x\right)=2x-x^2$

Siden planken er 2 m, kan ikke noen av sidene være større enn det. Ingen av sidene kan være null eller mindre. $x$ må altså være mindre enn 2 m og større enn 0 m.

I praksis må sengen være bred nok og lang nok til at hunden skal få plass. Vi kan ikke si noe helt eksakt, men vi kan se for oss at sengen må være minimum en halv meter i hver retning. Da er 0,5 nedre grense for $x$. Den øvre grensen for $x$ får vi når den andre siden er 0,5. Da kan vi løse likningen

$\begin{array}{rcl}2-x& =& 0,5\\ -x& =& 0,5-2\\ x& =& 1,5\end{array}$

Da blir den praktiske definisjonsmengden $[0.5 , 1,5]$.

Dette kan løses på flere måter. Vi kan tegne funksjonen og finne toppunktet (hvordan vet vi at funksjonen har et toppunkt?). Alternativt kan vi starte med å regne ut hvor stort arealet er når $x=0,5$ og når $x=1,5$ siden dette er grensene for definisjonsmengden.

$$\begin{gathered} A\left(0,5\right)=2·0,5-0,5^2=1-0,25=0,75 \\ A\left(1,5\right)=2·1,5-1,5^2=3-2,25=0,75 \end{gathered}$$

Hvorfor får vi samme areal?

For å finne toppunktet, kan vi bruke at andregradsfunksjoner er symmetriske. Det betyr at siden vi fikk samme svar på de to utregningene over, må toppunktet ligge midt i mellom 0,5 og 1,5, altså for $x=1$. Da er begge sidene lik 1 m, og arealet må bli 1 m².

Den praktiske verdimengden til funksjonen blir derfor $V_A=[0.75 , 1]$.

Ut ifra løsningen i forrige oppgave får vi den største mulige hundesengen når sidene er 1 m, og da er arealet 1 m².

Når vi løser likningen, finner vi ut for hvilke $x$-verdier arealet er lik 0,84 m². Når vi løser ulikheten, finner vi ut for hvilke $x$-verdier arealet er mindre enn eller lik 0,84 m². Når vi skal løse ulikheten, må vi først starte med å løse den tilsvarende likningen:

$\begin{array}{rcl} A\left(x\right) & =& 0,84 \\ 2x-x^2 & =& 0,84\\ -x^2+2x-0,84 & =& 0\end{array}$

Vi løser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-0,84\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{4-3,36}}{-2}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{0,64}}{-2}\\ & =& \frac{-2\pm 0,8}{-2}\\ x & =& \frac{-2+0,8}{-2}=0,6 \vee x=\frac{-2-0,8}{-2}=1,4\end{array}$

Siden vi vet mye om funksjonen $A\left(x\right)$ fra før, ser vi at dersom $A\left(x\right)\le 0,84$, må $x$ være mindre eller lik 0,6 og større eller lik 1,4. Samtidig kan ikke $x$ være mindre enn 0,5 eller større enn 1,5. Vi slipper å tegne fortegnslinje. Løsningen på ulikheten blir derfor

$x\in [0.5 , 0.6] \cup [1.4 , 1.5]$

Alternativ skrivemåte: $0,5\le x\le 0,6 \vee 1,4\le x\le 1,5$

Tegnet $\vee$ betyr "eller".

Oppgaven kan også løses grafisk eller med CAS.

Her kan du bruke formlike trekanter.

For at skapet skal bli så stort som mulig, må det plasseres inntil den høyeste veggen. Vi bruker at trekantene $GFC$ og $DHC$ er formlike. Det betyr at

$\begin{array}{rcl}\frac{GF}{DH}& =& \frac{FC}{HC}\\ \frac{x}{300}& =& \frac{260-h}{260-65}\\ \frac{x}{300}& =& \frac{260-h}{195} |·195\\ \frac{x}{300}·195& =& \frac{260-h}{195}·195\\ \frac{195x}{300}& =& 260-h\\ h& =& 260-\frac{195}{300}x\\ h& =& 260-0,65x\end{array}$

Merk at vi ikke multipliserte med fellesnevneren, som er produktet av 300 og 195, fordi det gir oss enklere regning når vi ønsker å ende opp med $h=$.

$$ A\left(x\right)=x·h=x\left(260-0,65x\right)=260x-0,65x^2$$

Volumet av skapet er produktet av arealet av fronten, $A\left(x\right)$, og dybden av skapet. Vi må anta at veggen er plan slik at dybden av skapet er den samme overalt. Da varierer volumet bare med $A\left(x\right)$, så når denne funksjonen har sin største verdi, vil også volumet av skapet være størst.

Her betyr det at vi ønsker å finne toppunktet til arealfunksjonen $A\left(x\right)$. Vi tegner funksjonen i GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt".

Arealet av fronten er størst når bredden på skapet er 200 cm.
Høyden på skapet er da: $$ h=260-0,65·200=130 \mathrm{cm}.$$

Oppgaven kan også løses ved å bruke CAS.

Her er det mange muligheter. Ett forslag er å dele opp skapet i to og la hver del gå så høyt som mulig. Da vil den høyre delen av skapet komme høyere enn resten.

Start med å finne en ny formel for høyden $h$ der lengden $HC$ nå blir $260-s$ i stedet for $260-65$.

Bruk GeoGebra. Legg inn tallet $s$ som en glider og la glideren gå fra 0 til 260. Legg inn arealfunksjonen $A\left(x\right)$ fra forrige oppgave med glideren $s$. Finn toppunktet til arealfunksjonen med GeoGebra. Observer hvordan toppunktet flytter seg når verdien for $s$ endres med glideren.

Hva betyr det i praksis når toppunktet til funksjonen har $x$-koordinat som er større enn 300?