Oppgave

Andregradsfunksjoner

Oppgavene kan løses med alle hjelpemidler.

3.3.1

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 2 til 7. Fire punkter på grafen er markert. Skjermutklipp. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til funksjonen

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

og markert noen punkter på grafen.

a) Skriv ned koordinatene til punktene A, B, C og D.

Vis fasit

$A (2, - 1) B (3, 0) C (0, 3) D (4, 3)$

b) Regn ut $f (0), f (2), f (3) og f (4)$ .

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \\ f (2) & = & 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \\ f (3) & = & 3^{2} - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \\ f (4) & = & 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \end{array}$

c) Forklar at koordinatene til punktene på grafen kan skrives som

$A (2, f (2)), B (3, f (3)), C (0, f (0)), D (4, f (4))$

Vis fasit

Når vi regner ut $f (2)$ , finner vi funksjonsverdien for $x = 2$ $f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ , dvs. punktet A på grafen. Et punkt $(b, f (b))$ vil derfor alltid ligge på grafen til $f$ for alle verdier for $b$ der funksjonen eksisterer.

3.3.2

Bestem hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil :-) eller sur :-( ) og hvor de skjærer andreaksen, uten å tegne grafene.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Vis fasit

Tallet for andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12.

b) $g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Vis fasit

Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4.

c) $h (x) = - x^{2} - 8$

Vis fasit

Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i $- 8$ .

d) $i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Vis fasit

Tallet foran andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0.

e) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.

Vis fasit

Fire grafer er tegnet med GeoGebra i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 5 til 6. Det er grafene til f av x er lik x i andre minus 7 x pluss 12, g av x er lik minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4, h av x er lik minus x i andre minus 8 og i av x er lik 3 x i andre pluss 12 x. Grafene til f og i har et bunnpunkt mens grafene til g og h har et toppunkt. Skjermutklipp. — Grafene i oppgaven. Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

3.3.3

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + x - 6$ for verdier mellom $- 4$ og $3$ .

a) Tegn grafen til $f$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 6 til 6. Skjermutklipp. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

b) Finn bunnpunktet på grafen til $f$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 6 til 6. Bunnpunktet med koordinatene minus 0,5 og 6,25 er tegnet inn. Skjermutklipp. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Jeg bruker kommandoen "Nullpunkt(f)" i GeoGebra. Bunnpunktet er $(- 0.5, - 6.25) .$

c) Finn nullpunktene til $f$ .

Vis fasit

Jeg bruker kommandoen "Nullpunkt(f)" i GeoGebra. Nullpunktene er $x = - 3$ og $x = 2$ .

d) Finn hvor grafen til $f$ skjærer $x$ -aksen. Hva kalles disse skjæringspunktene?

Vis fasit

Grafen skjærer $x$ -aksen for $x = - 3 og x = 2 .$ Skjæringspunktene kalles nullpunkter.

3.3.4

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter $t$ sekunder er høyden $h$ meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen

$h (t) = 14, 1 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$ .

a) Tegn grafen til $h$ for de første 3 sekundene.

Vis fasit

Grafen til funksjonen h av t er lik 14,1 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8 er tegnet for t-verdier mellom 0 og 3. Toppunktet A har koordinatene 1,44 og 11,94. Nullpunktet C har koordinatene 3 og 0. Linjen y er lik 10 er også tegnet inn. Skjæringspunktene mellom linjen og grafen til h er D med koordinatene 0,81 og 10 og E med koordinatene 2,07 og 10. Skjermutklipp. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

b) Når er ballen 10 meter over bakken?

Vis fasit

Jeg tegner linjen $y = 10 .$ Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til h med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Se punktene D og E i løsningen til oppgave a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekunder og etter 2,1 sekunder.

c) Når treffer ballen bakken?

Vis fasit

Jeg finner nullpunktet med kommandoen "Nullpunkt(h)". Se punktet C i løsningen til oppgave a). Ballen treffer bakken etter 3 sekunder.

d) Når er ballen 15 meter over bakken?

Vis fasit

Vi ser av grafen i løsningen til oppgave a) at ballen aldri når denne høyden.

e) Hvor høyt når ballen, og når er ballen på sitt høyeste punkt?

Vis fasit

Jeg finner toppunktet med kommandoen "Ekstremalpunkt(h)". Se punkt A i løsningen til oppgave a). Ballen når sitt høyeste punkt etter ca 1,4 sekunder og har da en høyde på 12,0 meter over bakken.

3.3.5

Gitt grafene nedenfor.

Grafene til tre ulike andregradsfunksjoner er tegna i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 5 til 4. Graf A har et toppunkt med koordinatene minus 2 og 4 og nullpunkter for x er lik minus 4,8 og 0,8. Graf B har et bunnpunkt med koordinatene 1 og 1 og ingen nullpunkter. Graf C har et toppunkt med koordinatene 2 og minus 2 og ingen nullpunkter. Skjermutklipp. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører graf A, graf B eller graf C. Prøv deg uten å tegne grafene. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene.

$\begin{array}{rcl} ^{} f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ ^{} f (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} B f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ A f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ C f (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

3.3.1

3.3.2

3.3.3

3.3.4

3.3.5

Regler for bruk av teksten "Andregradsfunksjoner"