Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Vi må regne ut hvor mange m høyere treet ble per år.

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{2,5 \mathrm{m}}{3 \mathrm{år}}=0,83 \mathrm{m}/\mathrm{år}$$

Den gjennomsnittlige vekstfarten var 0,83 m/år.

Vi regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten. Husk at $$ ∆y$$ er negativ fordi temperaturen synker.

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{-6°}{2 \mathrm{h}}=-3°/\mathrm{h}$$

Temperaturen sank i gjennomsnitt med 3 grader per time.

Vi regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten til snødybden.

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{y_2-y_1}{∆x}=\frac{50 \mathrm{cm}-25 \mathrm{cm}}{1,5 \mathrm{h}}=16,7 \mathrm{cm}/\mathrm{h}$$

Det snødde i gjennomsnitt 16,7 cm per time.

Vi kan ikke vite eksakt hva snødybden var etter en halvtime. Vi kan finne en tilnærmet verdi ved hjelp av den gjennomsnittlige vekstfarten.

$$ 25 \mathrm{cm}+0,5\mathrm{h}·16,7 \mathrm{cm}/\mathrm{h}=33,3 \mathrm{cm}$$

Snødybden var cirka 33 cm etter en halv time.

Vi må regne ut den gjennomsnittlige vekstfarten til vannstanden. Vi begynner med å regne ut $$ ∆x$$, som skal måles i minutter.

$$ ∆x=15 \mathrm{h}-11 \mathrm{h}=4 \mathrm{h}=4·60 \min =240 \min $$

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{y_2-y_1}{∆x}=\frac{2,65 \mathrm{m}-1,34 \mathrm{m}}{240 \min }=0,005 46 \mathrm{m}/\min $$

Siden tallet blir veldig lite, er det gunstig å skifte til cm per minutt eller mm per minutt. Vi velger cm per minutt:

$$ 0,005 46 \mathrm{m}/\min =0,005 46·100 \mathrm{cm}/\min =0,55 \mathrm{cm}/\min $$

Vannstanden steg med 0,55 cm per minutt i gjennomsnitt.

Vi må regne ut den gjennomsnittlige vekstfarten til verdien på bilen.

$$ \frac{∆y}{∆x}=\frac{200 000 \mathrm{kr}-600 000 \mathrm{kr}}{(2020-2016) \mathrm{år}}=-100 000 \mathrm{kr}/\mathrm{år}$$

Bilen sank i verdi med 100 000 kroner per år i gjennomsnitt.

Igjen kan vi ikke vite eksakt hva verdien på bilen var etter ett år, men vi bruker den gjennomsnittlige vekstfarten til å finne en tilnærmet verdi.

$$ 600 000 \mathrm{kr} +1 \mathrm{år}·(-100 000 \mathrm{kr}/\mathrm{år})=500 000 \mathrm{kr}$$

Verdien på bilen etter ett år var cirka 500 000 kroner.

Kommentar: Nye biler synker mest i verdi det første året. Deretter synker verdien mindre og mindre for hvert år. Mest sannsynlig vil derfor verdien på bilen være noe mindre enn 500 000 kroner etter ett år.

Gjennomsnittlig vekstfart grafisk:

Vi skriver inn funksjonen $$ f$$ og punktene $$ \left(0.5,f\left(0.5\right)\right)$$ og $$ \left(2,f\left(2\right)\right)$$, kalt $$ A$$ og $$ B$$ på figuren nedenfor. Så bruker vi verktøyet "Linje" til å tegne linja mellom $$ A$$ og $$ B$$ og verktøyet "Stigning" til å finne stigningstallet til linja. (Vi kan også lese av stigningstallet til linja av formelen for linja.)

Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten er 2,5 når $x$ vokser fra 0,5 til 2.

Gjennomsnittlig vekstfart ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\Delta y}{\Delta x}& = & \frac{f\left(2\right)-f\left(0,5\right)}{2-0,5}\\ & =& \frac{2^2+2-\left(0,5^2+2\right)}{2-0,5}\\ & =& \frac{6-2,25}{1,5}\\ & =& 2,5\end{array}$$

Gjennomsnittlig vekstfart med CAS:

Gjennomsnittlig vekstfart grafisk:

Vi endrer på punktene $$ A$$ og $$ B$$ i forrige oppgave til $$ \left(0,f\left(0\right)\right)$$ og $$ \left(1.5,f\left(1.5\right)\right)$$ på figuren nedenfor.

Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten når $x$ vokser fra 0 til 1,5, er 1,5.

Gjennomsnittlig vekstfart ved regning for hånd:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\Delta y}{\Delta x}& = & \frac{f\left(1.5\right)-f\left(0\right)}{1.5-0}\\ & =& \frac{1,5^2+2-\left(0^2+2\right)}{1,5}\\ & =& \frac{1,5^2}{1,5}\\ & =& 1,5\end{array}$$

Gjennomsnittlig vekstfart med CAS:

Momentan vekstfart grafisk:

Vi skriver inn punktet $$ \left(1,f\left(1\right)\right)$$. Så bruker vi verktøyet "Tangenter" til å tegne tangenten i dette punktet. Til slutt bruker vi verktøyet "Stigning" til å finne stigningstallet til linja og dermed den momentane vekstfarten til grafen i dette tangeringspunktet.

Den momentane vekstfarten til $$ f$$ når $$ x=1$$, er 2.

Momentan vekstfart med CAS:

Den momentane vekstfarten til $$ f$$ når $$ x=1$$, er 2.

Vi velger å bruke CAS.

Den momentane vekstfarten til $$ f$$ når $$ x=-1$$, er $$ -2$$.

Vekstfart $=\frac{4-0}{0-(-2)}=\frac{4}{2}=2$.

Vekstfart $=\frac{-4-2}{-4-(-10)}=\frac{-6}{6}=-1$.

Siden ei rett linje har samme stigning overalt, vil den gjennomsnittlige vekstfarten bli lik stigningstallet til linja uansett hvilke punkter vi bruker i utregningen.

Den momentane vekstfarten til linjene må også være den samme overalt og lik stigningstallet til linjene siden vekstfarten er den samme overalt.

Oppgaven spør etter gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen mellom $$ x=8$$ og $$ x=13$$. Vi skriver inn funksjonen $$ h$$ i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon", skriver inn punktene $$ \left(8,h\left(8\right)\right)$$ og $$ \left(13,h\left(13\right)\right)$$ og bruker verktøyet "Linje" til å tegne linja (sekanten) gjennom de to punktene.

Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten $y$) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.

Vi kunne også brukt verktøyet "Stigning" her.

Vi skriver inn punktene $$ \left(17,h\left(17\right)\right)$$ og $$ \left(20,h\left(20\right)\right)$$ og bruker verktøyet "Linje" til å tegne linja (sekanten) gjennom de to punktene.

Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten $y$) at treet i gjennomsnitt vokste 24 cm per år i perioden fra 1. mai 2019 til 1. mai 2022.

Oppgaven spør etter den momentane vekstfarten til treet i 2012, som betyr at $$ x=10$$. Vi velger å løse oppgaven med CAS.

Treet vokste med 90 cm per år 1. mai 2012.

Vi tegner grafen i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon(funksjon, start, slutt)".

Vi bruker kommandoen "Ekstremalpunkt" og finner toppunktet på grafen til $h$.

Hjortebestanden var størst litt ut i 1992. Den var da på 867 dyr.

Vi legger inn ei linje $y=850$ i samme koordinatsystem som grafen til $h$. Så finner vi skjæringspunktene mellom denne linja og grafen til $h$ ved å bruke kommandoen "Skjæring mellom to objekt".

Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og 2,9 år etter 1990, det vil si midt i 1991 og rett før årsskiftet 1992/1993.

Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finner følgende:

Vi finner at hjortebestanden synker i gjennomsnitt med 66 dyr hvert år i denne perioden.

Oppgaven spør etter den momentane vekstfarten til funksjonen når $$ x=1$$.

Veksten i hjortebestanden i 1991 var på 80 dyr per år.

Vi skriver inn funksjonen og bruker uttrykket for stigningstallet til linja mellom de to punktene.

Den gjennomsnittlige vekstfarten når $x$ vokser fra 1 til 2, er 2,5.

Den gjennomsnittlige vekstfarten når $x$ vokser fra 1 til 1,1, er 1,65.

Vi velger å tegne grafen til $$ f$$ inkludert de to sekantene.

Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar $x$ øke fra 1 til 1,1.

Det vil ikke alltid være slik. Studer figuren nedenfor der vi har tegnet en tredjegradsfunksjon $$ f$$.

Tangenten $$ t$$ til grafen til funksjonen $$ f$$ i punktet $$ A$$ er tegnet inn. Stigningstallet til sekanten gjennom $$ A$$ og $$ B$$ er ikke en spesielt god tilnærming til den momentane vekstfarten til funksjonen i $$ A$$. Dersom vi flytter $$ B$$ ut til $$ \left(7,f\left(7\right)\right)$$, får vi en mye bedre tilnærming. Men flytter vi $$ B$$ enda lenger ut, blir tilnærmingen dårligere igjen.

Den momentane vekstfarten til funksjonen når $$ x=1$$, er 1,5.

Vi må finne gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen i intervallet $$ \left[1,4\right]$$. Vi regner i CAS.

Treet vokste i gjennomsnitt 32 cm per år fra år 1 til år 4.

Vi kan finne veksten til treet i år 4 på to måter.

Alternativ 1

Vi kan se på forskjellen i høyde mellom år 4 og år 5.

I år 4 vokste treet 12 cm.

Alternativ 2

Veksten det fjerde året er tilnærmet lik den momentane vekstfarten når $$ x=4$$, som er et mål på veksten per år akkurat da.

Vi får omtrent samme svar som i alternativ 1. I år 4 vokste treet 11 cm.

Vi tegner grafen til funksjonen $$ h$$ ved hjelp av kommandoen "Funksjon".

Ut fra grafen til høydefunksjonen kan vi lese følgende:
Treet vokser raskt de første to årene. De neste fire årene er veksten mindre. De siste to årene er veksten igjen mye større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tida etter planting. Så avtar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter øker veksten mer og mer.