Gjennomsnittlig og momentan vekstfart
Gjennomsnittlig vekstfart
Eksempel på gjennomsnittlig vekstfart: kroppshøyde
Som 13-åring var Nils Henrik 149 cm høy. Da han var 17, var han 181 cm. Hvor mye vokste Nils Henrik i denne perioden i gjennomsnitt per år?
Gjennomsnittlig vekst per år
Vi må dele den totale veksten på antall år.
Gjennomsnittlig vokste Nils Henrik 8 cm per år. Vi kaller dette for den gjennomsnittlige vekstfarten til Nils Henrik.
Gjennomsnittlig vekstfart – grunnleggende definisjon
Den gjennomsnittlige vekstfarten sier hvor mye en størrelse
Tenk over
Kan vi finne ut hvor høy Nils Henrik var da han var 14 år?
Forklaring
Vi kan ikke ut ifra disse opplysningene vite nøyaktig hvor høy Nils Henrik var da han var 14 år. Men vi kan bruke den gjennomsnittlige vekstfarten til å regne ut hvor høy han tilnærmet var.
Siden han i gjennomsnitt vokste 8 cm per år, ville høyden hans da han var 14 år, være tilnærmet 157 cm.
Hva har vi brukt som forutsetning i utregningen i boksen over?
Forutsetning
Vi har antatt at Nils Henrik vokste like mye hvert år, altså 8 cm per år. Slik var det sikkert ikke i virkeligheten, for ofte vokser barn og ungdom mye det ene året, mens det neste året vokser de nesten ingenting.
I eksempelet over er størrelsen
Gjennomsnittlig vekst per måned
Gjennomsnittlig vokste Nils Henrik 6,7 mm per måned. Dette er den gjennomsnittlige vekstfarten til Nils Henrik når vi måler i millimeter per måned.
Gjennomsnittlig vekstfart grafisk
Vi skal nå se hvordan gjennomsnittlig vekstfart ser ut grafisk.
Tegn informasjonen om alderen til Nils Henrik som to punkter i et koordinatsystem der vi har alderen målt i år på
Høydeutviklingen til Nils Henrik
Øverst på siden regnet vi ut den gjennomsnittlige vekstfarten med regnestykket
Vi finner også igjen tallene i regnestykket i koordinatsystemet i boksen over. Hvor?
Svar
Vi finner tallene som koordinatene til de to punktene.
Vi tegner ei linje gjennom de to punktene, se figuren. Det vannrette, stiplede linjestykket har lengde
Tilsvarende har det loddrette linjestykket lengde
Det betyr at den gjennomsnittlige vekstfarten kan uttrykkes som
Tenk over
Studer figuren over. Hvilken betydning har forholdet
Forklaring
Vi ser av figuren at den gjennomsnittlige vekstfarten er det samme som stigningstallet til den rette linja gjennom de to punktene.
På figuren har vi tegnet linja ved hjelp av kommandoen "Linje" eller den tilsvarende verktøyknappen. Så har vi brukt kommandoen (eller verktøyknappen) "Stigning" for å finne at stigningstallet til linja er 8.
Gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkt
Den gjennomsnittlige vekstfarten fra et punkt
Gjennomsnittlig vekstfart til en funksjon
Nå antar vi at høyden
der
Gjennomsnittlig vekst til Nils Henrik med CAS
Vi finner
Gjennomsnittlig vekst til Nils Henrik grafisk
Vi tegner funksjonen
Dette er nesten samme figur som lenger opp på siden. Forskjellen er at punktene er regnet ut fra en funksjon, mens lenger opp hadde vi oppgitt punktene direkte.
Gjennomsnittlig vekstfart til en funksjon oppsummert
Den gjennomsnittlige vekstfarten for en funksjon
En sekant er ei rett linje som skjærer en krum kurve i minimum to punkter.
Momentan vekstfart
Vi antar fortsatt at høyden til Nils Henrik følger funksjonen
Tenk over
Vi så i eksempelet over at Nils Henrik vokste i gjennomsnitt 8 cm per år fra han var 13 til han var 17. Kan du ut ifra grafen si noe om når i denne perioden han vokste raskest?
Forklaring
Nils Henrik vokser raskest der grafen er brattest. I perioden mellom 13 og 17 år er grafen brattest når
Hvor raskt vokste han egentlig per år akkurat da? For å svare på det kan du bruke GeoGebra-simuleringen nedenfor, der du kan dra i den svarte glideren for å flytte på punktet til høyre og observere endringen i stigningstallet til linja. Dersom simuleringen ikke vises, kan du laste den ned nedenfor.
Filer
Når vi flytter det svarte punktet til det overlapper det blå, får vi at stigningstallet til linja blir 12. Det betyr at da Nils Henrik var 13 år, vokste han med en fart av 12 cm per år. Merk at dette gjelder bare da han var 13 år, eller når
Når de to punktene overlapper, er ikke linja lenger en sekant som skjærer grafen i to punkter, men en tangent til grafen i punktet
Momentan vekstfart, definisjon
Den momentane vekstfarten til en funksjon i et punkt på grafen er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.
Merk også at både gjennomsnittlig og momentan vekstfart får måleenheten cm/år eller cm per år, altså måleenheten på
Vi kan bruke den momentane vekstfarten til en funksjon som en tilnærming til hvor mye funksjonen vokser når
Vi skal vise hvordan vi finner den momentane vekstfarten til funksjonen (og Nils Henrik) når
Momentan vekstfart grafisk
Vi har fulgt oppskriften nedenfor da vi lagde bildet i boksen over, bortsett fra at vi tegnet tangenten i punktet
Vi tegner funksjonen ved å skrive den inn i algebrafeltet.
Vi tegner punktet
ved å skrive nettopp dette i algebrafeltet.14 , h 14 Vi tegner tangenten til grafen i punktet ved å velge verktøyet "Tangenter", se bildet, klikke på punktet og deretter klikke et sted på grafen til
.h Vi finner stigningstallet til tangenten ved å velge verktøyet "Stigning" og klikke på tangentlinja. Dette stigningstallet er den momentane vekstfarten til grafen i punktet
.14 , h 14
Ved å følge disse punktene skal du få at stigningstallet til tangenten er 10. Den momentane vekstfarten til funksjonen når
Momentan vekstfart med CAS
Vi finner den momentane vekstfarten med CAS enklest på denne måten:
Skriv inn funksjonen i CAS.
Vi kombinerer kommandoene "Stigning" og "Tangent" ved å sette tangentkommandoen sammen med den aktuelle
-verdien og navnet på funksjonen inn i kommandoen "Stigning". Resultatet blir stigningstallet til tangenten, som er den momentane vekstfarten til funksjonen i tangeringspunktet.x
Kommentar: Vi kan også finne tangenten først og deretter bruke kommandoen "Stigning" hvis vi foretrekker å gjøre det på to linjer. Et tredje alternativ er å bare bruke kommandoen "Tangent". Det kan vi gjøre siden vi kan lese ut stigningstallet direkte fra likningen til tangenten.