Oppgave

Skjæringspunktet mellom to rette linjer

3.2.50

Gitt funksjonene $f (x) = - \frac{3}{2} x + 5$ og $g (x) = 2 x - 2$

a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.

vis fasit

Linær funksjon. Illustrasjon. — Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk.

vis fasit

Jeg brukte kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant at punktet $A (2, 2)$ er skjæringspunktet mellom grafene, se figuren over.

c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning, både med og uten digitale hjelpemidler.

vis fasit

f(x)\ — Bilde: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Uten bruk av digitale hjelpemidler

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ - \frac{3}{2} + 5 & = & 2 x - 2 \\ - 3 x + 10 & = & 4 x - 4 \\ - 3 x - 4 x & = & - 4 - 10 \\ - 7 x & = & - 14 \\ x & = & 2 \\ g (2) & = & 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 \end{array}$

Jeg får både med og uten digitale hjelpemidler at skjæringspunktet er $(2, 2)$ .

d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Ved regning både med og uten digitale hjelpemidler.

vis fasit

Grafisk brukte jeg kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant skjæringspunktene mellom grafene og x-aksen. (Jeg kunne også brukt kommandoen «Nullpunkt $[<P o l y n o m>]$ »).

Funksjonen $f$ har nullpunkt for $x = 3, 3$ (se punktet $C$ i oppgave a)) og funksjonen $g$ har nullpunkt $x = 1, 0$ (se punktet $B$ ).

Ved regning uten digitale hjelpemidler:

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rclccrcl} f (x) & = & 0 & g (x) & = & 0 \\ - \frac{3}{2} x + 5 & = & 0 & 2 x - 2 & = & 0 \\ - 3 x & = & - 10 & 2 x & = & 2 \\ x & = & \frac{10}{3} & x & = & 1 \end{array} \end{array}$

Ved regning med CAS i GeoGebra:

f(x)\ — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Jeg får samme nullpunkter ved regning som grafisk.

3.2.51

Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår.

a) Lag en funksjon $L$ som viser timelønnen i kroner når han oppnår $s$ antall salg.

vis fasit

$L (s) = 10 s + 105$

b) $D_{L} = [0, 15]$ . Tegn grafen til funksjonen $L$ i et koordinatsystem.

vis fasit

Lineær funksjon. Illustrasjon. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner?

vis fasit

Jeg tegner linjen $y = 175$ . Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til $L$ med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktet $A$ på figuren i oppgave b).

Med en timelønn på 175 kroner har Per har hatt 7 salg.

Dette kan vi også finne ved regning i CAS

L av s er lik 175. CASutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

d) Finn verdimengden til funksjonen $L$ .

vis fasit

Den største timelønnen Per kan oppnå er $10 \cdot 15 kroner + 105 kroner = 255 kroner$ . Den laveste er 105 kroner. Verdimengden blir $V_{L} = [105, 255]$

3.2.52

På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var $5 ° C$ ved starten av prøven og stiger jevnt med $5, 4 ° C$ i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer.

a) Lag en funksjon $T$ for temperaturen i vannet etter $x$ antall minutt.

vis fasit

Temperaturstigningen blir $\frac{5, 4 ° C}{60 \min} = 0, 09 ° C per minutt .$

$T (x) = 0, 09 x + 5$

b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer?

vis fasit

$T (90) = 0, 09 \cdot 90 + 5 = 13, 1 ° C$

c) Tegn grafen til $T$ i et koordinatsystem. La $x$ variere fra 0 til 180.

vis fasit

d) Når var temperaturen i vannet $14 ° C$ ?

vis fasit

Jeg tegner linjen $y = 14$ . Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til $T$ med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktet $A$ på figuren i oppgave c).

Temperaturen var $14 ° C$ etter 100 minutt, altså etter 1 time og 40 minutt.

Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen $f$ viser temperaturen i vannet til Anette $x$ antall minutt etter at prøven startet.

$f (x) = 0, 08 x + 6, 5$

e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet?

vis fasit

Da prøven starter, er $x = 0$ . Temperaturen i vannflasken til Anette var dermed $6, 5 ° C$ ved prøvestart.

3.2.50

3.2.51

3.2.52

Regler for bruk av teksten "Skjæringspunktet mellom to rette linjer"