Tierpotenser og tall på standardform

Vi bruker ofte potenser med grunntallet 10 når vi regner svært store tall eller svært små tall. Tabellen nedenfor viser tierpotenser av ulik størrelse. Disse har egne navn (prefikser). En del av disse bør du kunne.

En oversikt over noen prefiks til tierpotenser:

Markedsverdien av oljefondet kan det være interessant å følge med på. Høsten 2020 kunne denne verdien variere mellom 10 680 milliarder kroner og 10 710 milliarder kroner i løpet av bare fem minutter.

Det er ikke noe poeng for oss å vite på kronenivå hva verdien er. Det holder for oss å avrunde verdien til cirka 11 000 milliarder kroner.

Det er også greit å skrive tall kun med tallsifre. For eksempel har ordet billion ulik betydning i Norge og i USA. 11 000 milliarder kroner blir da 11 000 000 000 000 kroner. Det blir svært mange sifre å holde styr på.

11 000 000 000 000 kan også skrives som $$ 1,1·{10}^{13}$$. Da har vi skrevet tallet på standardform.

Definisjon av standardform

Et tall er skrevet på standardform når det skrives som et tall fra 1 til 10 multiplisert med en potens av 10 der eksponenten er et helt tall.

Hvorfor og hvordan vi kan skrive tall på standardform

Vi ser på tallet 2 357. Tallsystemet vårt er et posisjonssystem. Det vil si at det er det enkelte siffers plassering som bestemmer verdien til sifferet.

$\begin{array}{ccccccc}& & & 2 & 0& 0& 0\\ & & & & 3& 0& 0\\ & & & & & 5& 0\\ & +& & & & & 7\\ & =& & 2& 3& 5& 7\\ & & & & & & \end{array}$

Det første sifferet, 2, har verdien 2 000. Det neste, 3, har verdien 300. Sifferet 5 har verdien 50, mens det siste sifferet, 7, forteller at vi har 7 enere. Det første sifferet angir altså antall 1 000, det neste antall 100, det tredje antall tiere og det siste antall enere.

Vi kan sette et kommategn etter sifferet 7. Da vil eventuelle sifre etter 7 angi antall tideler, hundredeler og så videre avhengig av sifferets posisjon.

Kommategnet forteller altså hvor vi begynner å telle enere.

Vi kan flytte kommaet en plass til venstre og skrive $235,7$. Da har verdien av alle sifre blitt dividert med 10. Sifferet 3 har ikke lenger verdien 300, men har nå verdien 30. Tallet $235,7$kan få tilbake sin verdi som 2 357 ved at vi multipliserer det med 10.

Vi kan fortsette slik:

$\begin{array}{rcl}2357& = & 2357·{10}^0\\ & & \\ 2357& =& 235,7·{10}^1\\ & & \\ 2357& =& 23,57·{10}^2\\ & & \\ 2357& =& 2,357·{10}^3\end{array}$

I den siste linja har vi skrevet tallet 2 357 som et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens. Vi sier da at vi har skrevet tallet på standardform.

I begynnelsen av 2011 var folketallet i verden cirka 6 894 000 000.

Dette tallet kan vi skrive på standardform som

$6 894 000 000=6,894·{10}^9\approx 6,9·{10}^9$

Ovenfor har vi avrundet til én desimal i desimaldelen av tallet. Vi må da huske på de reglene som gjelder for avrunding.

Avrunding

Små tall på standardform

Vi ser på tallet $0,023$. Husk igjen at vårt tallsystem er et posisjonssystem. Kommategnet forteller hvor vi begynner å telle enere. Den første plassen etter kommaet er tidelsplassen som forteller hvor mange tideler vi har. Vi har i vårt eksempel 0 tideler. Den andre plassen angir hundredeler. Vi har 2 hundredeler, og det siste sifferet forteller at vi har 3 tusendeler.

$\begin{array}{rcl}0,02& = & \frac{2}{100}\\ & & \\ 0,003& =& \frac{3}{1000}\end{array}$

Vi kan flytte kommaet en plass til høyre og skrive $0,23$. Da har verdien av alle sifre blitt multiplisert med 10. Sifferet 2 har ikke lenger verdien 2 hundredeler, men har nå verdien 2 tideler. For at tallet skal få tilbake sin opprinnelige verdi, må vi dividere hele tallet med 10. Det er det samme som å multiplisere det med ${10}^{-1}$. Tallet $2,3$ kan få tilbake sin verdi som $0,023$ ved at vi dividerer det med 100.

$\begin{array}{rcl}0,023& = & 0,023·{10}^0\\ & & \\ 0,023& =& 0,23·{10}^{-1}\\ & & \\ 0,023& =& 2,3·{10}^{-2}\end{array}$

I den siste linja har vi skrevet tallet $0,023$ som et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens. Vi har skrevet tallet på standardform.

Vann er bygd opp av vannmolekyler. Massen til ett vannmolekyl er

CC BY-NC-SA

Bilde: Science Photo Library

$\begin{array}{rcl}m& = & 0,0000000000000000000000000299 \mathrm{kg}\\ & & \\ & =& 2,99·{10}^{-26} \mathrm{kg}\end{array}$

Her ser du at det er hensiktsmessig å bruke standardform.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

I GeoGebra bruker vi kommandoen "Standardform(<Tall>)" eller "Standardform(<Tall>,<Gjeldende siffer>)" for å skrive et tall eller regneuttrykk på standardform.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

I GeoGebra benyttes også bokstaven E for tierpotens.