Utforsking av likninger og ulikheter
1.10.25
I denne oppgaven får du oppgitt noen likninger, likningssett og ulikheter. I hver deloppgave skal du finne minst én situasjon som du kan bruke likninger eller ulikheter til å løse. Deretter skal du løse ulikheten og svare på den oppgaven du har lagd.
a)
b)
c)
1.10.26
Nedenfor ser du en likning og fem ulike løsningsforslag. Ingen av elevene klarte å løse likningen. For hvert løsningsforslag skal du prøve å forklare hva eleven har tenkt i hvert trinn og finne feilen hen har gjort. Noen av problemene er så store at eleven ikke klarte å fullføre likningen – hva er galt? Hvilken av løsningene ville ha gitt mest uttelling på en prøve? Ta utgangspunkt i den løsningen du mener er mest riktig, og fullfør løsningen.
Dette er likningen som skulle løses:
a) Løsningen til Per:
Gir opp. Har ikke lært å løse likninger med
Vis fasit
Per har egentlig ikke gjort noe galt, men strategien for å finne fellesnevner gjør at han får et litt komplisert uttrykk. Det lønner seg å velge den minste, mulige fellesnevneren, og da er det lurt å faktorisere andregradsuttrykket.
b) Løsningen til Amelia:
Vis fasit
Amelia sin løsning er en av de beste foreslåtte løsningene. Det eneste hun har glemt, er å sjekke om begge de to løsningene hun har funnet er gyldige løsninger. 2 er en riktig løsning, men vi hvis vi setter –2 under brøkstreken, får vi 0 som nevner, og derfor er det ikke en gyldig løsning.
c) Løsningen til Tale:
Fellesnevner er
Vis fasit
Tale har funnet rett fellesnevner, men hun har glemt hva hun skal gjøre med den. Hun har multiplisert hver nevner med det hun mangler, men glemt å multiplisere tellerne. Da ender hun opp med en annen likning.
d) Løsningen til Rikard:
Det er et negativt tall under rottegnet, og likningen har ingen løsning.
Vis fasit
Rikard har gjort grove feil i de to første leddene, først ved å forkorte ledd mot ledd og så ved å trekke tallene fra de ulike leddene sammen på en litt vilkårlig måte. I linje 4 har han glemt at han har en likning, siden han mangler
e) Løsningen til Markus:
Vis fasit
Markus har funnet riktig fellesnevner og har muligens tenkt rett når han multipliserer i teller med den ene faktoren. Vi ser at i den femte linja ville han ha fått samme uttrykk som Amelia hvis han hadde valgt riktig "halvpart" av fellesnevner. Etter dette har han funnet to mulige løsninger, men den ene er ugyldig (–2), og den andre oppfyller ikke likningen.
f) Løsningen til Abdi:
Vis fasit
Abdi sin løsning er også veldig god. Han har funnet rett fellesnevner. Han har skrevet at han multipliserer alle ledd med fellesnevner, men har i praksis heller valgt å utvide alle brøkene til brøker med felles nevner. I femte linje har han fjernet nevneren. Abdi har vært litt uheldig med fortegnet til 2
1.10.27
Under ser du en ulikhet. Seks elever har gitt forskjellige svar på denne ulikheten.
Per sin løsning:
Amelia sin løsning:
Rikard sin løsning:
Tale sin løsning:
Markus sin løsning:
Abdi sin løsning:
a) Løs ulikheten for å finne det riktige svaret.
Vis fasit
Vi har nullpunktene –4 og 1. Siden uttrykket
Løsningen er
b) Forklar hva som er galt med de andre svarene, og hvordan elevene kan ha kommet fram til disse.
Vis fasit
Vi ser at det er Tale som har rett. Abdi gjorde nesten rett, men brukte gale parenteser. Markus har fått gale nullpunkter, men valgte rett område ut ifra sin løsning. Rikard har fått de samme nullpunktene som Markus, men også han valgte det negative området. Per og Amelia har rette nullpunkter. Begge har valgt det negative området. Per har også glemt at ulikheten sier større eller lik.
c) Kan du gjøre endringer i ulikheten slik at den passer med hvert av de andre svarene?
Vis fasit
Ulikheten til Per sin løsning:
Ulikheten til Amelia sin løsning:
Ulikheten til Rikard sin løsning:
Tale sin løsning var riktig, så den passet.
Ulikheten til Markus sin løsning:
Ulikheten til Abdi sin løsning:
1.10.28
Nedenfor finner du tre ulike fortegnsskjemaer. Til hvert fortegnsskjema skal du lage en ulikhet som dette skjemaet kan brukes til å løse. I tillegg skal du skrive ned løsningen din.
a)
Vis fasit
Fortegnsskjemaet viser at uttrykket blir 0 ved
b)
Vis fasit
Fortegnsskjemaet viser at uttrykket ikke eksisterer ved x=1, og da antar vi at det er en rasjonal ulikhet med
c)
Vis fasit
Fortegnsskjemaet viser at uttrykket ikke eksisterer ved