Ulikheter av andre grad

Gitt ulikheten

$x^2<5x-4$

Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side.

$x^2-5x+4<0$

Vi bruker så for eksempel abc-formelen og finner nullpunktene til uttrykket $x^2-5x+4$.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-5x+4 & = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm 3}{2}\\ & & \\ x_1& =& 4 \vee x_2=1\end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $x^2-5x+4$ er lik 0 når $x=1$ og når $x=4$.
Det er bare for disse $x$-verdiene at uttrykket kan skifte fortegn.

Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle $x$-verdier i hvert av de tre intervallene $⟨\leftarrow , 1⟩,⟨1, 4⟩$ og $⟨4, \to ⟩$. For å avgjøre om uttrykket er positivt eller negativt i hvert av intervallene, kan vi ta "stikkprøver" for en $x$-verdi i hvert intervall.

Vi vet at uttrykket kan faktoriseres slik at $x^2-5x+4=\left(x-4\right)\left(x-1\right)$. Det er lettest å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$x^2-5x+4=\left(x-4\right)\left(x-1\right)$

For $x=0$ får vi

$\left(0-4\right)\left(0-1\right)=\left(-4\right)·\left(-1\right)$. Uttrykket er positivt.

For $x=2$ får vi

$\left(2-4\right)\left(2-1\right)=\left(-2\right)·\left(1\right)$. Uttrykket er negativt.

For $x=5$ får vi

$\left(5-4\right)\left(5-1\right)=\left(1\right)·\left(4\right)$. Uttrykket er positivt.

Det er ikke nødvendig å regne ut verdien i parentesene. Det som betyr noe, er fortegnene på parentesuttrykkene.

Utfordring!

Ser du at det egentlig er tilstrekkelig å regne ut kun én verdi? Kan du si hvorfor det er riktig?



For å få en oversikt over situasjonen, kan vi sette opp et såkalt fortegnsskjema. Det består av en tallinje som viser $x$-verdiene, og en fortegnslinje som viser fortegnet til uttrykket i de aktuelle intervallene. Heltrukket linje markerer at uttrykket er positivt i dette tallintervallet, og stiplet linje markerer at uttrykket er negativt. En "$0$" viser at uttrykket er lik null for denne $x$-verdien.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x^2<5x-4$. Det er det samme som å finne ut når $x^2-5x+4<0$. Ut fra fortegnslinjen er det nå lett å se løsningen på oppgaven.

Løsningen på oppgaven er at $x$ må ligge mellom $1$ og $4$. Dette kan vi skrive som et intervall slik:

$x\in ⟨1, 4⟩$

Skrivemåten betyr "x er med i intervallet ⟨1, 4⟩", altså intervallet fra 1 til 4. Alternativt kan vi skrive svaret som en dobbel ulikhet:

$1<x<4$

Den doble ulikheten sier at x skal være større enn 1 og samtidig mindre enn 4.

Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ . Da vil det se ut som vist nedenfor.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{x}}^2<5\mathrm{x}-4\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{1<\mathrm{x}<4\}\end{array}}$

Vi ser at GeoGebra skriver svaret som en dobbel ulikhet.

Vi kan også skrive ulikheten inn i kommandoen "Løs()".