Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

For eksempel er uttrykket $x^2-6x+9$ et fullstendig kvadrat fordi

$x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$

Hvordan kan vi se om et andregradsuttrykk er et fullstendig kvadrat?

Vi bruker uttrykket $x^2-6x+9$ som eksempel.

Kan uttrykket skrives som $a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$ eller $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$?

1. Første forutsetning er at andregradsleddet og konstantleddet er kvadratiske uttrykk med positivt fortegn. Det stemmer her, og vi finner at $a=\sqrt{x^2}=x$ og $b=\sqrt{9}=3$.
2. Videre må «det dobbelte produkt», det vil si $2ab$, være lik $6x$. Vi sjekker: $2ab=2·x·3=6x$. Det stemmer.
3. Førstegradsleddet er negativt. Det betyr at vi kan bruke andre kvadratsetning.
   $\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}$Da er $x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$, og vi har et fullstendig kvadrat.

Oppgave

Undersøk om $x^2+8x+16$ og $x^2-5x+25$ er fullstendige kvadrater.

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater, men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage et fullstendig kvadrat og så bruke konjugatsetningen.

Vi skal se på to eksempler hvor vi bruker denne metoden.

Eksempel 1

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket $x^2+4x-5$.
Vi må lage uttrykk på formen $a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$ eller $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$.

1. Andregradsleddet er et kvadratuttrykk, $x^2$. Det gir $a=\sqrt{x^2}=x$.
2. Konstantleddet, $-5$, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
   Vi legger til og trekker fra kvadrattallet $b^2$ til uttrykket og får
   $\begin{array}{rcl}& & \\ x^2+4x-5& =& \underset{\mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}}{\underbrace{x^2+4x+b^2}}-b^2-5\\ & & \end{array}$
   Dette gjør vi for å lage et fullstendig kvadrat av de tre første leddene.
3. Vi må ha $2ab=4x$. Vi kan da finne $b$:
   $\begin{array}{rcl}& & \\ 2ab& = & 4x\Rightarrow b=\frac{4x}{2a}=\frac{4x}{2x}=2\\ & & \end{array}$
4. Vi får da
   $\begin{array}{rcl}& & \\ x^2+4x-5 & = & \underbrace{x^2+4x+2^2}-4-5 \mathrm{Vi} \mathrm{legger} \mathrm{til} \mathrm{og} \mathrm{trekker} \mathrm{fra} 2^2.\\ & & \mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}\\ & & \\ & =& (x+2{)}^2-9 \mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat} \mathrm{etter} 1. \mathrm{kvadratsetning}\\ & & \\ & =& (x+2{)}^2-3^2 \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{konjugatsetningen}.\\ & & \\ & =& \left((x+2)+3\right)·\left((x+2)-3\right)\\ & & \\ & =& (x+5)·(x-1)\end{array}$

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått

$x^2+4x-5=\left(x+5\right)\left(x-1\right)$

Eksempel 2

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket $2x^2-8x-42$.
Vi må lage uttrykk på formen $a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$ eller $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$.

1. Her er ikke andregradsleddet et kvadratuttrykk, men når vi setter faktoren $2$ utenfor en parentes, så får vi et uttrykk der andregradsleddet er et kvadratuttrykk:
   $\begin{array}{rcl}& & \\ 2x^2-8x-42& = & 2\left(x^2-4x-21\right)\\ & & \end{array}$
2. Vi faktoriserer parentesuttrykket. Andregradsleddet er $x^2$. Det gir $\begin{array}{rcl}& & \\ a& = & \sqrt{x^2}=x\\ & & \end{array}$
3. Konstantleddet, $-21$, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
   Vi legger til og trekker fra kvadrattallet $b^2$ til uttrykket og får
   $\begin{array}{rcl}& & \\ x^2-4x-21& =& \underset{\mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}}{\underbrace{x^2-4x+b^2}}-b^2-21\\ & & \end{array}$
4. Vi må ha $2ab=4x$. Vi kan da finne$b$:
   $\begin{array}{rcl}& & \\ 2ab& = & 4x\Rightarrow \frac{4x}{2a}=\frac{4x}{2x}=2\\ & & \end{array}$
5. Vi får da
   $\begin{array}{rcl}& & \\ x^2-4x-21 & = & \underbrace{x^2-4x+2^2}-4-21 \mathrm{Vi} \mathrm{legger} \mathrm{til} \mathrm{og} \mathrm{trekker} \mathrm{fra} 2^2.\\ & & \mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}\\ & & \\ & =& (x-2{)}^2-25 \mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat} \mathrm{etter} 2. \mathrm{kvadratsetning}\\ & & \\ & =& (x-2{)}^2-5^2 \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{konjugatsetningen}.\\ & & \\ & =& \left(\right(x-2)+5)·\left(\right(x-2)-5)\\ & & \\ & =& (x+3)·(x-7)\end{array}$
   

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått

$2x^2-8x-42=2\left(x^2-4x-21\right)=2\left(x+3\right)\left(x-7\right)$