Likningssett

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl}x+y& = & -2\\ x& =& -2-y\\ & & \\ 2·(-2-y)-3y& =& 6\\ -4-2y-3y& =& 6\\ -5y& =& 10\\ y& =& \frac{10}{-5}=-2\\ & & \\ x& =& -2-(-2)=-2+2=0\end{array}$

Løsning med CAS:

Her har vi skrevet inn likningene i linje 1 og linje 2. Så har vi trykket på verktøyknappen $$ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$ ("Løs en eller flere likninger").

Merk at i stedet for å trykke på verktøyknappen, kunne vi i linje 3 skrevet kommandoen

Løs({$1,$2})

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

$\begin{array}{rcl}-y& = & 6-2x\\ y& =& 2x-6\\ & & \\ 6x+2\left(2x-6\right)& =& 8\\ 6x+4x-12& =& 8\\ 10x& =& 20\\ x& =& \frac{20}{10}=2\\ & & \\ y& =& 2·2-6=-2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2x& = & 6+3y\\ x& =& 3+\frac{3}{2}y\\ & & \\ -5\left(3+\frac{3}{2y}\right)-2y& =& 4\\ -15-\frac{15}{2}y-2y& =& 4\\ -\frac{15}{2}y-\frac{4}{2}y& =& 4+15\\ -\frac{19}{2}y& =& 19\\ -19y& =& 38\\ y& =& \frac{38}{-19}=-2\\ & & \\ x& =& 3+\frac{3}{2}·\left(-2\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2y& = & 4x-8\\ y& =& 2x-4\\ & & \\ -4x& =& 3\left(2x-4\right)-2\\ -4x& =& 6x-12-2\\ -10x& =& -14\\ x& =& \frac{-14}{-10}=\frac{7}{5}\\ & & \\ y& =& 2·\frac{7}{5}-4=\frac{14}{5}-4=\frac{14}{5}-\frac{20}{5}=-\frac{6}{5}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}-y& = & x-6\\ y& =& 6-x\\ & & \\ 4\left(6-x\right)+4x& =& -2\\ 24-4x+4x& =& -2\\ 0x& =& -26\end{array}$

Ingen løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl}x-y& = & 1\\ x& =& 1+y\\ & & \\ 2\left(1+y\right)-3y& =& -2\\ 2+2y-3y& =& -2\\ -y& =& -4\\ y& =& 4\\ & & \\ x& =& 1+4=5\end{array}$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn de to likningen (kalt "l1" og "l2" på figuren) og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til likningene. Skjæringspunktet har $$ x$$-koordinat lik 5 og $$ y$$-koordinat lik 4, og dette er løsningen på likningssettet.

Løsning med CAS:

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

$\begin{array}{rcl}2x-\frac{1}{2}y& = & -3\\ -\frac{1}{2}y& =& -3-2x\\ y& =& 6+4x\\ & & \\ \frac{3}{2}x+2\left(6+4x\right)& =& \frac{5}{2}\\ 3x+24+16x& =& 5\\ 19x& =& -19\\ x& =& -1\\ & & \\ y& =& 6-4=2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}-60x+80y& = & 40 \overline{):20}\\ -3x+4y& =& 2\\ x& =& \frac{4y-2}{3}\\ & & \\ 2\left(\frac{4y-2}{3}\right)& =& -2\\ 8y-4-9y& =& -6\\ -y& =& -2\\ y& =& 2\\ & & \\ x& =& \frac{4·2-2}{3}=2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2y& = & 4x-40 \overline{):2}\\ y& =& 2x-20\\ & & \\ -\frac{3}{5}x& =& 3(2x-20)-6\\ -\frac{3}{5}x& =& 6x-60-6 \overline{)·5}\\ -3x& =& 30x-300-30\\ -33x& =& -330\\ x& =& 10\\ & & \\ y& =& 2·10-20\\ y& =& 0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}4y-\frac{1}{5}x& = & 11 \overline{)·5}\\ 20y-x& =& 55\\ x& =& 20y-55\\ & & \\ -2y& =& 20y-55-11\\ -22y& =& -66\\ y& =& 3\\ & & \\ x& =& 20·3-55=5\end{array}$

Vi setter prisen for torskefilet lik $x$ kroner og prisen for ulkefilet lik $y$ kroner, og får

$\begin{array}{rcl}2x+1,5y& = & 385\\ 3x+0,5y& =& 315\\ 0,5y& =& 315-3x\\ y& =& 630-6x\\ & & \\ 2x+1,5(630-6x)& =& 385\\ 2x+945-9x& =& 385\\ -7x& =& -560\\ x& =& 80\\ & & \\ y& =& 630-6·80=150\end{array}$

Torskefileten koster 80 kroner per kg, og ulkefileten koster 150 kroner per kg.

Oppgaven kan også løses med CAS.

Hvis lærer Hansen kjøpte $x$ epler og $y$ pærer, får vi følgende likninger:

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 115\\ 3x+4y& =& 415\\ & & \\ x& =& 115-y\\ & & \\ 3(115-y)+4y& =& 415\\ 345-3y+4y& =& 415\\ y& =& 70\\ & & \\ x& =& 115-70=45\end{array}$

Lærer Hansen kjøpte 45 epler og 70 pærer.

Oppgaven kan også løses med CAS.

Vi løser likningssettet med CAS i GeoGebra.

Vi løser likningssettet med CAS i GeoGebra.

Her kan vi vurdere å trykke på knappen $\boxed{ \underset{ }{\overset{ }{\approx }} }$ for å få løsningen skrevet på desimalform.

Vi setter mengden oljeblanding lik $x$ liter og mengden ren bensin lik $y$ liter. Videre bruker vi at summen av mengdene skal bli 5 L til den første likningen. Til den andre likningen bruker vi at mengden olje fra oljeblandingen skal utgjøre en brøkdel $\frac{0,1}{10,1}$ av 5 L.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 5\\ & & \\ \frac{x·0,2}{10,2}+0& =& \frac{5·0,1}{10,1}\end{array}$

Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

Per må blande 2,52 L av oljeblandingen og 2,48 L ren bensin.

Oppgaven kan også løses uten å sette opp likningssett. Finn ut hvordan!

Vi setter mengden oljeblanding lik $x$ liter og mengden ren olje lik $y$ liter.

Vi setter opp to likninger der mengden oljeblanding settes som $x$ liter og mengden olje som $y$ liter.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 8\\ & & \\ \frac{x·0,2}{10,2}+y& =& \frac{8·0,3}{10,3}\end{array}$

Med CAS i GeoGebra får vi

Kari må ha 7,92 L oljeblanding og 0,08 L olje.

Vi løser likningen $x+y+z=6$ med hensyn på $x$.

$x=6-y-z$

Så settes dette uttrykket inn for $x$ i de to andre likningene.

$\begin{array}{rcl}2(6-y-z)+y-2z& =& -2\\ 3(6-y-z)+2y+z& =& 10\\ & & \\ 12-2y-2z+y-2z& = & -2\\ 18-3y-3z+2y+z& =& 10\\ & & \\ -y-4z& =& -14\\ -y-2z& =& -8\end{array}$

Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi løser.

$\begin{array}{rcl}y-4z & =& -14\\ y & =& 14-4z\end{array}$

Videre er
$\begin{array}{rcl} -\left(14-4z\right)-2z & =& -8\\ -14+4z-2z & =& -8\\ 2z & =& 6\\ z & =& 3\end{array}$

som gir

$\begin{array}{rcl}y & =& 14-4·3=2\\ x & =& 6-2-3=1\end{array}$

Løsning med CAS:

Vi løser likningen $x+y-z = 0$ med hensyn på $x$.

$x = z-y$

Så settes dette uttrykket inn for $x$ i de to andre likningene:

$\begin{array}{rcl}2\left(z-y\right)+y-z & =& 2\\ 4\left(z-y\right)+y-2z & =& 1\\ & & \\ 2z-2y+y-z & =& 2\\ 4z-4y+y-2z & =& 1\\ & & \\ z-y & =& 2\\ 2z-3y & =& 1\end{array}$

Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi løser:

$\begin{array}{rcl}z-y & =& 2\\ y & =& z-2\end{array}$

Videre er

$\begin{array}{rcl}2z-3\left(z-2\right) & =& 1\\ 2z-3z+6 & =& 1\\ -z & =& -5\\ z & =& 5\end{array}$

som gir

$\begin{array}{rcl}y & =& 5-2=3\\ x & =& 5-3=2\end{array}$

Løsning med CAS:

Vi setter opp tre likninger der $x$ er kilopris for eplene, $y$ er kilopris for druene og $z$ er kilopris for bananene.

$\begin{array}{rcl}1,5x+y+2z & =& 92\\ x+0,5y+1,5z & =& 59\\ 2x+1,5y+z & =& 101\end{array}$

Vi løser likningen $1,5x+y+2z = 92$ med hensyn på $y$.

$y = 92-1,5x-2z$

Vi setter så dette uttrykket for $y$ inn i de to andre likningene:

$\begin{array}{rcl}x+0,5\left(92-1,5x-2z\right)+1,5z & =& 59\\ 2x+1,5\left(92-1,5x-2z\right)+z & =& 101\\ & & \\ x+46-0,75x-z+1,5z & =& 59\\ 2x+138-2,25x-3z+z & =& 101\\ & & \\ 0,25x+0,5z & =& 13\\ -0,25x-2z & =& -37\end{array}$

Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi løser.

$\begin{array}{rcl}0,25x+0,5z & =& 13\\ x & =& 52-2z\end{array}$

Videre er

$\begin{array}{rcl}-0,25\left(52-2z\right)-2z & =& -37\\ -13+0,5z-2z & =& -37\\ -1,5z & =& -24\\ z & =& 16\end{array}$

som gir

$\begin{array}{rcl}x & =& 52-2·16 = 20\\ y & =& 92-1,5·20-2·16 = 30\end{array}$

Eplene koster kroner 20 per kg, druene koster kroner 30 per kg, og bananene koster kroner 16 per kg.

Løsning med CAS:

Vi setter opp tre likninger:

$\begin{array}{rcl}k+g+h & =& 150 \left(\text{antall hoder}\right)\\ 4k+4g+2h & =& 460 \left(\text{antall bein}\right)\\ g-k & =& 40 \left(\text{forskjellen mellom antall griser og kyr}\right)\end{array}$

Vi løser likningen $g-k = 40$ med hensyn på$g$.

$g=40+k$

Så setter vi dette uttrykket for$g$inn i de to andre likningene.

$\begin{array}{rcl}k+\left(40+k\right)+h & =& 150\\ 4k+4\left(40+k\right)+2h & =& 460\\ & & \\ k+40+k+h & =& 150\\ 4k+160+4k+2h & =& 460\\ & & \\ 2k+h & =& 110\\ 8k+2h & =& 300\end{array}$

Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi kan løse.

$\begin{array}{rcl}2k+h & =& 110\\ h & =& 110-2k\end{array}$

Videre er

$\begin{array}{rcl}8k+2\left(110-2k\right) & =& 300\\ 8k+220-4k & =& 300\\ 4k & =& 80\\ k & =& 20\end{array}$

som gir

$\begin{array}{rcl}h & =& 110-2·20 = 70\\ g & =& 40+20 = 60\end{array}$

På gården var det 20 kyr, 60 griser og 70 høns.

Løsning med CAS:

Vi setter opp tre likninger.

$\begin{array}{rcl}y+m+e & =& 36\\ e-y & =& 12\\ y & =& \frac{e}{3}\end{array}$

Vi løser likningen $e-y = 12$ med hensyn på$e$.

$e = 12+y$

Vi setter så dette uttrykket for$e$inn i de to andre likningene.

$\begin{array}{rcl} y+m+12+y& = & 36\\ y& =& \frac{ 12+y}{3}\\ & & \\ 2y+m& =& 24\\ 3y& =& 12+y\\ & & \\ m& =& 24-2y\\ 2y& =& 12\end{array}$

Siste linje her gir oss $y=6.$

Da er

$\begin{array}{rcl}e & =& 12+6=18\\ m & =& 24-2·6=12\end{array}$

De tre søsknene er 6, 12 og 18 år gamle.

Løsning med CAS: