I disse oppgavene skal du jobbe med uttrykk og øve på å kjenne igjen identiteter og likninger. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.
Oppgave 1
Se på likningene nedenfor. I hvert av tilfellene skal du avgjøre om vi har en identitet. Husk å forklare tankegangen din.
a)
Løsning
Her har vi en identitet – vi ser at dette er et eksempel på konjugatsetningen. Uansett hvilken verdi vi setter inn for x, er høyre side lik venstre side.
b) x2=16
Løsning
Dette er ikke en identitet, for likhetstegnet gjelder bare forx=±4.
c) (4a)2=16a2
Løsning
Dette er en identitet. Hvis vi opphøyer 4a i 2, får vi 16a2 uavhengig av verdien til a.
d) a3=a·a2
Løsning
Dette er en identitet, det følger av potensregnereglene.
e) y=3x+5
Løsning
Dette er ikke en identitet siden likheten bare vil være oppfylt av spesifikke par av tall. For eksempel er likheten oppfylt hvis x=1 og y=8.
f) 23=6
Løsning
Dette er ikke en identitet, for 23=8.
Oppgave 2
I CAS i GeoGebra kan du bruke dobbelt likhetstegn for å sjekke om to uttrykk er like. Sjekk likningene under og finn ut hvilke som er identiteter, hvilke som er likninger med reelle løsninger, og hvilke som er likninger uten reelle løsninger.
a) x2x-3+4x8x+3=16x2-9x16x2-18x-9
Løsning
Linje 1 gir at vi har en identitet.
b) 33x+2-12x+4=x8
Løsning
Linje 1 gir at vi ikke har en identitet, så vi sjekker i linje 2 om vi har reelle løsninger. Vi har altså en likning med én løsning. Uttrykkene er bare lik hverandre når x=2.
c) x2+2x=-4
Løsning
Linje 1 gir at vi ikke har en identitet, og vi har heller ingen likning med reelle løsninger (linje 2).
d) x2+2x=4
Løsning
Vi får at vi ikke har en identitet, men en likning med to reelle løsninger.
e) 33x+2-22x+4=1x
Løsning
Vi har ingen identitet og heller ingen reelle løsninger til likningen.
f) 3x+23-2x+42=x
Løsning
Vi har ingen identitet, men en likning med én reell løsning.
g) 16(x+2)2(x-3)=16x3+16x2-128x-192
Løsning
Her har vi en identitet.
Oppgave 3
Bestem konstantene a og b dersom uttrykkene er identiteter:
a) x2-4x-3=x+ax+b
Løsning
Vi faktoriserer uttrykket på venstresiden:
x2-4x-3=x-3x-1
Vi må ha a=-3∧b=-1 eller omvendt for at likningen skal bli en identitet.
b) x2+ax+9=x+b2
Løsning
Vi regner ut uttrykket på høyre side:
x+b2=x2+2bx+b2
Dette gir oss at b2=9, som videre gir at b=±b2=±9=±3.
Vi har at ax=2bx, noe som gir at
a=2b=2·±3=±6
Dette gir løsningen
a=6∧b=3∨a=-6∧b=-3
c) ax2+8x+6=x+3ax+b
Løsning
Vi regner ut uttrykket til høyre for likhetstegnet:
x+3ax+b=ax2+bx+3ax+3b
Dette gir følgende to likninger:
6=3bb+3a=8
Vi løser den øverste likningen og får at b=2. Vi setter det inn i den nederste likningen:
2+3a=83a=6a=2
Vi har at
a=2∧b=2
Oppgave 4
Nedlastbare filer
Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.