Hopp til innhold
Oppgave

Identiteter, likninger og uttrykk

I disse oppgavene skal du jobbe med uttrykk og øve på å kjenne igjen identiteter og likninger. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Se på likningene nedenfor. I hvert av tilfellene skal du avgjøre om vi har en identitet. Husk å forklare tankegangen din.

a) x2-16 = (x+4)(x-4)

Løsning

Her har vi en identitet – vi ser at dette er et eksempel på konjugatsetningen. Uansett hvilken verdi vi setter inn for x, er høyre side lik venstre side.

b) x2=16

Løsning

Dette er ikke en identitet, for likhetstegnet gjelder bare for x=±4.

c) (4a)2=16a2

Løsning

Dette er en identitet. Hvis vi opphøyer 4a i 2, får vi 16a2 uavhengig av verdien til a.

d) a3=a·a2

Løsning

Dette er en identitet, det følger av potensregnereglene.

e) y=3x+5

Løsning

Dette er ikke en identitet siden likheten bare vil være oppfylt av spesifikke par av tall. For eksempel er likheten oppfylt hvis x=1 og y=8.

f) 23 =6

Løsning

Dette er ikke en identitet, for 23= 8.


Oppgave 2

I CAS i GeoGebra kan du bruke dobbelt likhetstegn for å sjekke om to uttrykk er like. Sjekk likningene under og finn ut hvilke som er identiteter, hvilke som er likninger med reelle løsninger, og hvilke som er likninger uten reelle løsninger.

a) x2x-3+4x8x+3=16x2-9x16x2-18x-9

Løsning

Linje 1 gir at vi har en identitet.

b) 33x+2-12x+4=x8

Løsning

Linje 1 gir at vi ikke har en identitet, så vi sjekker i linje 2 om vi har reelle løsninger. Vi har altså en likning med én løsning. Uttrykkene er bare lik hverandre når x=2.

c) x2+2x=-4

Løsning

Linje 1 gir at vi ikke har en identitet, og vi har heller ingen likning med reelle løsninger (linje 2).

d) x2+2x=4

Løsning

Vi får at vi ikke har en identitet, men en likning med to reelle løsninger.

e) 33x+2-22x+4=1x

Løsning

Vi har ingen identitet og heller ingen reelle løsninger til likningen.

f) 3x+23-2x+42=x

Løsning

Vi har ingen identitet, men en likning med én reell løsning.

g) 16(x+2)2(x-3)=16x3+16x2-128x-192

Løsning

Her har vi en identitet.

Oppgave 3

Bestem konstantene a og b dersom uttrykkene er identiteter:

a) x2-4x-3=x+ax+b

Løsning

Vi faktoriserer uttrykket på venstresiden:

x2-4x-3=x-3x-1

Vi må ha a=-3  b=-1 eller omvendt for at likningen skal bli en identitet.

b) x2+ax+9=x+b2

Løsning

Vi regner ut uttrykket på høyre side:

x+b2=x2+2bx+b2

Dette gir oss at b2=9, som videre gir at b=±b2=±9=±3.

Vi har at ax = 2bx, noe som gir at

a=2b=2·±3=±6

Dette gir løsningen

a=6b=3      a=-6b=-3

c) ax2+8x+6=x+3ax+b

Løsning

Vi regner ut uttrykket til høyre for likhetstegnet:

x+3ax+b=ax2+bx+3ax+3b

Dette gir følgende to likninger:

6 = 3bb+3a = 8

Vi løser den øverste likningen og får at b=2. Vi setter det inn i den nederste likningen:

2+3a = 83a = 6a = 2

Vi har at

a=2b=2

Oppgave 4

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.