Oppgave

Hvilken matematisk modell passer best?

Med regresjonsanalyseverktøyet kan vi lage mange ulike matematiske modeller. Her kan du utforske disse modellene.

3.3.80

Tabellen nedenfor viser folketallet i Norge fra 1950 og utover.

Årstall	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2005	2010	2015
Folketall (mill.)	3,2	3,6	3,9	4,1	4,2	4,5	4,6	4,9	5,2

På sida "Modell for folketallsutviklingen i Norge" (se lenke under Relatert innhold på denne sida) lager vi en lineær modell for folketallsutviklingen mellom 1950 og 2000, altså uten de tre siste tallene i tabellen over. Den rette linja som passer best med tallene fram til og med år 2000, er

$g (x) = 0, 024 x + 3, 31$

når $x$ står for antall år etter 1950.

a) Lag en ny lineær modell $f$ som inkluderer tallene for 2005, 2010 og 2015 i regresjonsanalysen. (Husk å la $x$ stå for antall år etter 1950.) Kommenter forskjellen i stigningstall mellom denne modellen og funksjonen $g$ .

Løsning

Vi lager en ny rad i tabellen for $x$ -verdiene.

Årstall	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2005	2010	2015
x	0	10	20	30	40	50	55	60	65
Folketall (mill.)	3,2	3,6	3,9	4,1	4,2	4,5	4,6	4,9	5,2

Vi skriver inn tallene i regnearkdelen i GeoGebra og velger verktøyet "Regresjonsanalyse" med valget "Lineær" som regresjonsmodell.

Til venstre i figuren er tallene fra tabellen i oppgaven lagt inn i to kolonner i regnearkdelen av programmet GeoGebra. Til høyre vises regresjonsverktøyet med et koordinatsystem med punkter tegnet ut fra tallene i regnearkdelen. Det er valgt lineær regresjonsmodell, og den rette linja y er lik 0,0269 pluss 3,258 er tegnet inn. Skjermutklipp. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Den rette linja som passer best med alle tallene, er

$f (x) = 0, 0269 x + 3, 258$

Stigningstallet ble større for $f$ enn for $g$ . Det har sammenheng med at folketallet har steget raskere siden år 2000 enn tidligere år.

b) Finn andre matematiske modeller som kan være aktuelle å bruke på folketallsutviklingen i Norge siden 1950.

Løsning

Aktuelle modeller kan være polynomfunksjoner eller eksponentialfunksjoner.

Regresjonsmodell "Polynom med grad 2":

$f_{p 2} (x) = 0, 0001 x^{2} + 0, 021 x + 3, 31$

Koordinatsystemet i regresjonsverktøyet viser punktene i oppgaven og den andregradsfunksjonen som passer best med disse punktene. Andregradsfunksjonen er nesten rettlinjet og krummer svakt oppover. Skjermutklipp. — Regresjon med andregradsfunksjon. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Her måtte vi skru på 4 desimaler i innstillingene til GeoGebra for å se hva koeffisienten foran andregradsleddet egentlig var. Den er svært liten, og det ser vi også av grafen, som nesten er rettlinjet. Andregradsfunksjonen $f_{p 2}$ passer derfor ikke noe særlig bedre enn den rette linja $f$ .

Regresjonsmodell "Polynom med grad 3":

$f_{p 3} (x) = 0, 00002 x^{3} - 0, 0014 x^{2} + 0, 057 x + 3, 19$

Koordinatsystemet i regresjonsverktøyet viser punktene i oppgaven og den tredjegradsfunksjonen som passer best med disse punktene. Tredjegradsfunksjonen passer ganske bra med tallene siden veksten i folketallet først avtar og deretter stiger. Skjermutklipp. — Regresjon med tredjegradsfunksjon. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Koeffisienten foran tredjegradsleddet er svært liten. Likevel passer tredjegradsfunksjonen bedre enn andregradsfunksjonen siden veksten i folketallet avtar først og deretter stiger.

Regresjonsmodell "Eksponentiell":

$f_{e} (x) = 3, 31 \cdot 1, 007^{x}$

Koordinatsystemet i regresjonsverktøyet viser punktene i oppgaven og den eksponentialfunksjonen som passer best med disse punktene. Eksponentialfunksjonen er nesten rettlinjet og krummer svakt oppover. Skjermutklipp. — Regresjon med eksponentialfunksjon. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Denne grafen ser omtrent ut som grafen til $f_{p 2}$ . Den passer derfor heller ikke så godt som grafen til $f_{p 3}$ .

Prøv gjerne andre regresjonsmodeller også!

c) Finn nyere tall for folketallet. Hvordan passer disse inn i modellene i forrige oppgave?

Tips til oppgaven

Overfør modellene til det vanlige grafikkfeltet. Tegn så inn de nye punktene, og se hvor godt de passer inn.

d) Hvilke av modellene vil passe best på lang sikt, tror du?

Løsning

Alle modellene unntatt den rette linja vil gi en vekst som øker mer og mer. Det er ikke så veldig sannsynlig. Det er kanskje heller ikke så veldig sannsynlig med jevn lineær vekst; folketallet kan ikke fortsette å vokse i det uendelige.

e) Hvordan tror du det påvirker modellene dersom du lager dem ved bare å bruke tallene fra 1990 og utover? Gjør dette med noen av modellene fra oppgave a) og b).

Delvis løsning

Dersom vi bare tar med tall fra 1990 og utover, får vi bare den delen der veksten er økende. Da vil for eksempel en eksponentialfunksjon passe bedre enn i de forrige oppgavene, og en lineær modell vil passe dårligere.

Relatert innhold

Fagstoff

Modell for folketallsutviklingen i Norge

Lineær regresjon er å finne uttrykk for en tilnærmet lineær funksjon.

3.3.80

Relatert innhold

Regler for bruk av teksten "Hvilken matematisk modell passer best?"