Fagartikkel

Polynomfunksjoner

En polynomfunksjon er en funksjon som har et polynom som funksjonsuttrykk.

Definisjon

Et polynom er et uttrykk med ett eller flere ledd der hvert ledd består av en konstant multiplisert med $x^{n}$ , der $n$ er et ikke-negativt heltall. Den høyeste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket $x - 4 + 2 x^{3}$ er et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten i uttrykket er 3.

En polynomfunksjon er en funksjon som har et polynom som funksjonsuttrykk.

Uttrykket $3 x + 3$ er et polynom av første grad fordi $x$ er av første grad. Uttrykket $2 x^{2} - 2 x + 4$ er et polynom av andre grad fordi vi har et ledd hvor $x$ er opphøyd i andre potens, og to er den høyeste eksponenten $x$ har. $x - 4 + 2 x^{3}$ er et eksempel på et tredjegradspolynom fordi den høyeste eksponenten av $x$ her er 3.

Det er vanlig å ordne et polynom slik at leddet med den høyeste eksponenten kommer først, leddet med nest høyest eksponent kommer som nummer to og så videre. Fjerdegradspolynomet $- 5 + 3 x^{3} - x^{2} + 7 x^{4}$ skriver vi på ordnet form som $7 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 5$ . Tallene foran potensene av $x$ kaller vi for koeffisienter. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten foran $x^{2}$ lik $- 1$ .

Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner av henholdsvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner av tredje grad.

Generelt om tredjegradsfunksjoner

Vi tegner grafen til tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 1$

Tredjegradsfunksjonen f av x er lik en tredjedels x i tredje pluss en halv x i andre minus x minus 1 tegnet i et koordinatsystem og med markering av toppunktet, bunnpunktet, nullpunktene og skjæringspunktet med andreaksen. Illustrasjon. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

Nullpunkter

Funksjonen har nullpunktene $x = - 2, 2, x = - 0, 8 og x = 1, 6$ .

Skjæring med 𝑦-aksen

Grafen skjærer $y$ -aksen når $x = 0$ . Skjæringspunktet er $(0, - 1)$ .

Topp- og bunnpunkter

Grafen har toppunkt $(- 1.6, 0.5)$ .
Grafen har bunnpunkt $(0.6, - 1.3)$ .

For andregradsfunksjoner sa vi at en funksjon hadde sin laveste verdi i bunnpunktet og høyeste verdi i toppunktet. En tredjegradsfunksjon kan ha høyere verdier enn i toppunktet andre steder på grafen. Vi sier likevel at grafen har et toppunkt, selv om det bare er lokalt.

Ekstremalpunkter

Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller bunnpunkter er «Ekstremalpunkt[<Polynom>]».

I eksamensveiledningen 2019 fra Utdanningsdirektoratet defineres ekstremalpunkt som førstekoordinaten til et topp- eller bunnpunkt. Ekstremalverdi er andrekoordinaten til et topp- eller bunnpunkt.

Et ekstremalpunkt er et felles navn for maksimal- eller minimalpunkter.

Et maksimalpunkt er førstekoordinaten til et toppunkt. Andrekoordinaten kalles en maksimalverdi.

Et minimalpunkt er førstekoordinaten til et bunnpunkt. Andrekoordinaten kalles en minimalverdi.

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Kilde

Utdanningsdirektoratet (2019). Eksamensveiledning – om vurdering av eksamensbesvarelser. 2019. Matematikk. Sentralt gitt skriftlig eksamen. Studieforberedende og yrkesfaglige utdanningsprogram. Kunnskapsløftet LK06. Oslo: Utdanningsdirektoratet.