Trekanttall og Pascals talltrekant

Følgende figurer er kommet fram ved å lage likesida trekanter av sirkler som er tettpakka.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Kan du se hva som er mønsteret i oppbyggingen av figurene?

Start med figur 1 og figur 2 nedenfor og ikke se på figur 3 og figur 4 ovenfor.

Klarer du selv å lage figur 3 og figur 4?

Du har kanskje allerede sett mønsteret. Figur 1 har 1 sirkel. Figur 2 har 2 sirkler fler enn figur 1. Figur 3 har 3 sirkler fler enn figur 2. Slik fortsetter det.

Vi får da at i figur 1 er det 1 sirkel. I figur 2 er det $1+2=3$ sirkler. I figur 3 er det
$1+2+3=6$ sirkler. I figur 4 er det $1+2+3+4=10$ sirkler og så videre.

Tallene 1, 3, 6, 10 og så videre kalles for trekanttallene. Hvorfor tror du de har fått dette navnet?

La $T\left(n\right)$ være trekanttall nummer $n$. Da er

$T\left(1\right)=1, T\left(2\right)=3, T\left(3\right)=6$ og $T\left(4\right)=10$.

Tenk nå at vi lager figur 5, figur 6 og så videre etter samme mønster. Ser du at

$T\left(5\right)=T\left(4\right)+5=15$ og $T\left(6\right)=T\left(5\right)+6=15+6=21$?

Ser du at vi generelt får $T\left(n\right)=T(n-1)+n$ ?

Forsøk å lage en tabell med de første 12 trekanttallene. Kontroller med tabellen nedenfor.

Vi får for eksempel at $T\left(7\right)=28=1+2+3+4+5+6+7=\frac{1+7}{2}·7$.

Brøken $\frac{1+7}{2}=4$ er gjennomsnittet av tallene fra og med 1 til og med 7. Når vi multipliserer dette tallet med antall tall, som er 7, får vi summen av tallene fra og med 1 til og med 7.

Det betyr at formelen $T\left(n\right)=\frac{1+n}{2}·n$ gir trekanttall nummer $n$. Kontroller at denne formelen stemmer for de andre trekanttallene.

Et kvadrattall er et tall du får, når du opphøyer et helt tall i andre potens. Hva slags tall får du når du legger sammen to «nabo-trekanttall»?

CC BY-NC-SA

Bilde: NTB scanpix, Science Photo Library

Blaise Pascal var en kjent fransk matematiker, fysiker, oppfinner og filosof som levde på 1600-tallet. En spesiell talltrekant har fått navnet etter Pascal selv om trekanten var kjent i mange hundre år før Pascal levde.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Lag en trekant av ruter som figuren ovenfor viser. Skriv inn tallet 1 i alle rutene langs kanten av trekanten. Vi har begynt å fylle inn tall i resten av rutene. Ser du hvordan vi har funnet disse tallene? Fortsett etter samme mønster, og fyll inn tall i alle rutene.

I trekanten ovenfor har vi valgt å lage 11 rader. Trekanten kan utvides etter samme mønster.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Se på tallene som er farget gule. Kjenner du igjen denne tallfølgen? Ganske riktig. Det er trekanttallene!

Ser du hvordan de framkommer etter følgende mønster?

$\begin{array}{l}1=1 \\ 1+2=3 \\ 1+2+3=3+3=6 \\ 1+2+3+4=6+4=10\\ 1+2+3+4+5=10 + 5=15 \\ 1+2+3+4+5+6=15+6=21\end{array}$