Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinje

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi tegner grafen til funksjonen $f\left(x\right)=x^2-4x+3$ i GeoGebra og finner nullpunktene med kommandoen «Nullpunkt[f]».

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt. Vi finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har bunnpunkt $\left(2, -1\right)$.

I koordinatsystemet har vi tegnet inn symmetrilinja til $f$, linja $x=2$.

Vi ser at bunnpunktet ligger på symmetrilinja. Symmetrilinja ligger også like langt fra hvert av parabelens nullpunkter.

Vi har sett at vi kan finne parabelens nullpunkter ved å løse likningen $f\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-4x+3& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·3}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm 2}{2}\\ & & \\ x& =& 2\pm 1\end{array}$

Hvis vi stopper der, ser vi at $x=2\pm 1$.

Det betyr at de to nullpunktene ligger like langt fra linja $x=2$, og denne linja er altså parabelens symmetrilinje.

Generelt er nullpunktene gitt ved

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & & \\ & =& \frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

Det betyr at vi kan finne symmetrilinja og $x$-koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved å «fjerne» kvadratroten i uttrykket vi får når vi setter $f\left(x\right)=0$ .

Det betyr at vi kan finne mye informasjon om grafen til en andregradsfunksjon ved enkel regning uten å bruke digitale hjelpemidler.

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Gitt funksjonen $g\left(x\right)=-x^2+3x+4$. Finn nullpunktene til funksjonen.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ -x^2+3x+4& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·\left(-1\right)·4}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{-3\pm \sqrt{25}}{-2}\\ & & \\ x& =& -1 \vee x=4\end{array}$

Nullpunktene er $x=-1$ og $x=4$.

Symmetrilinja er

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-3}{2·\left(-1\right)}=\frac{3}{2}=1,5$

Vi ser at dette er $x$-verdien midt mellom $-1$ og $4$.
Grafen har et toppunkt, siden andregradsleddet er negativt.
Toppunktet har koordinatene

$\begin{array}{rcl}\left(1.5, g(1.5)\right)& = & \left(1.5, \left(-1.5^2+3·1.5+4\right)\right)\\ & & \\ & =& \left(1.5, (-2.25+4.5+4)\right)\\ & & \\ & =& \left(1.5, 6.25\right)\end{array}$

Gitt funksjonen $h\left(x\right)=x^2-4x+4$.

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

$\begin{array}{rcl}h\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ x^2-4x+4& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·4}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{0}}{2}=2\end{array}$

Nullpunktet er $x=2$.

Vi får bare ett nullpunkt, siden uttrykket under kvadratroten blir lik null.

Symmetrilinja er gitt ved

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-4\right)}{2·1}=\frac{4}{2}=2$

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt. Nullpunktet faller sammen med bunnpunktet og ligger på symmetrilinja.

Vi vet at $h\left(2\right)=0$. Bunnpunktet har koordinatene $\left(2, h\left(2\right)\right)=\left(2, 0\right)$.

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Gitt funksjonen $k\left(x\right)=x^2-4x+5$.

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

$\begin{array}{rcl}k\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ x^2-4x+5& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·5}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{-4}}{2}\end{array}$

Vi får et negativt tall under rottegnet. Likningen har ingen løsning. Det betyr at funksjonen ikke har nullpunkter, og grafen til funksjonen krysser aldri $x$-aksen.

Siden konstantleddet $c=5$, vet vi at grafen skjærer $y$-aksen i punktet $\left(0, 5\right)$. Dette punktet ligger over $x$-aksen. Grafen ligger da over $x$-aksen for alle verdier av $x$.

Vi finner symmetrilinja ved

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-4\right)}{2}=\frac{4}{2}=2$

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt.

Bunnpunktet har koordinatene $\left(2, k\left(2\right)\right)=\left(2, 2^2-4·2+5\right)=\left(2, 1\right)$.