Vinkler

Når to stråler har felles endepunkt, danner de en vinkel. Det felles endepunktet kalles for vinkelens toppunkt. Strålene kalles for vinkelbein.

Sett fra toppunktet får vi høyre vinkelbein og venstre vinkelbein.

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

To stråler med felles endepunkt danner egentlig to vinkler. Se figuren. Når vi snakker om vinkelen mellom to stråler, mener vi vanligvis den minste vinkelen, $\alpha$ på figuren.

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Det er vanlig å dele sirkelens omkrets i 360 deler, eller grader. Måling av vinkler bygger på denne inndelingen.

Vi tenker oss at vi plasserer en sirkel med sentrum i toppunktet til en vinkel.

En vinkel som spenner over en fjerdedel av sirkelens omkrets er da $\left(\frac{360}{4}\right)°=90°$. Denne vinkelen kaller vi en rett vinkel.

En vinkel som spenner over halvparten av sirkelens omkrets er 180°.

En vinkel mellom 0° og 90° kaller vi en spiss vinkel.
En vinkel mellom 90° og 180° kaller vi en stump vinkel.
To vinkler som til sammen er 90° kaller vi komplementvinkler.
To vinkler som til sammen er 180° kaller vi supplementvinkler.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

To linjer som danner en vinkel på 90 grader med hverandre, sier vi står normalt på hverandre.

Vi skriver $a\perp b$.

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Nå to linjer skjærer hverandre, er to og to av de fire vinklene som dannes alltid like store.

På figuren er $v$ og $w$ supplementvinkler. Det betyr at

$\begin{array}{rcl}v+w& = & 180°\\ & & \\ v& =& 180°-w\end{array}$

Vi har også at

$\begin{array}{rcl}u+w& = & 180°\\ & & \\ u& =& 180°-w\end{array}$

Det må bety at $u=v$ .

Samme resonnement gir at $w=z$ .

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

På figuren er $\alpha$ (alfa) og $\beta$ (beta) et par av samsvarende vinkler, og $\gamma$ (gamma) og $\delta$ (delta) er et annet par av samsvarende vinkler. Overskjæringslinjen $l$ er venstre vinkelbein i alle vinklene.

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

På figuren er $\alpha$ og $\beta$ samsvarende vinkler fordi venstre vinkelbein er felles
(linjen $l$).

I tillegg er høyre vinkelbein, linjene $m$ og $n$ parallelle. Tenk deg at du roterer figuren 180° om midtpunktet mellom de to skjæringspunktene.

Ser du at $\alpha =\beta$?

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Bernard Annebicque

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Hvor store er vinklene $j, k, r, s, t$ og $w$ sammenliknet med $u$ og $v$ når $m\left|\right|n$? Prøv å begrunne svarene dine.

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

At summen av vinklene i en trekant alltid er lik 180° kombinert med setningen som sier at toppvinkler er like store, gir følgende nyttige setning