Tallsystemer. Det binære tallsystemet

CC BY-NC-SA

Bilde: Corbis, NTB scanpix

Hvor mange tallsystemer bruker du per dag? Bruk et par sekunder på å tenke deg om.

Du bruker helt sikkert minst to tallsystemer hver dag, for eksempel titallsystemet for utregning av penger og antall og sekstitallsystemet hver gang du bruker ei klokke. Vi har jo 60 sekunder i et minutt og 60 minutter i en time. Når vi bruker datamaskiner, må vi også forholde oss til noen flere tallsystemer, blant annet det binære tallsystemet (totallsystemet), som vi skal gå gjennom her. Først ser vi på det tallsystemet vi kjenner best: titallsystemet.

Titallsystemet er det tallsystemet vi mennesker bruker mest i hverdagen. Vi lærer det som barn, men vi tenker lite over hvordan det fungerer. Derfor er det et godt eksempel å starte med. Grunnen er at de andre tallsystemene vi bruker, er bygd opp på samme måte, men de har færre eller flere tallsymboler eller sifre.

Vi har ti forskjellige sifre i titallsystemet:

Hvis vi trenger et høyere tall enn ni, løser vi dette med å bruke flere sifre. I eksempelet under starter vi på tallet 7 og øker verdien med 1 for hver linje nedover. Når vi når verdien 9, har vi brukt opp de tilgjengelige symbolene og må bruke to sifre for å vise tallet som er én større enn ni. Vi legger en ener i tier-posisjonen og går tilbake til null i ener-posisjonen. Vi kaller derfor titallsystemet for et posisjonsbasert tallsystem eller et plassverdisystem.

I tabellen nedenfor, som starter på tallet 7, viser vi dette.

I tallet 12 står derfor sifferet 1 for 10 siden det står på tierplassen og sifferet 2 for 2 (siden det står på enerplassen). Når vi har brukt opp alle mulige kombinasjoner med to sifre, har vi kommet til tallet 99. I tallet 99 står det første nitallet for 9 tiere, eller 90, og det andre for 9 enere, eller 9. For å få én mer må vi bruke tre sifre og får 100. I tallet 102 står sifferet 1 på hundrerplassen og betyr 100 og sifferet 2 på enerplassen (og betyr 2).

Fordi vi er så vant til å bruke titallsystemet, tenker vi sjelden over det, men når vi leser et tall, deler vi det opp. For eksempel leser vi tallet 1 233 som 1 tusen, 2 hundre, 3 tiere og 3 enere. Med matematikksymboler kan vi skrive tallet som regnestykket

$$ \begin{array}{rcl}1 233 & =& 1·1 000+2·100+3·10+3·1\\ & =& 1·{10}^3+2·{10}^2+3·{10}^1+1·{10}^0\end{array}$$

Dette kalles også å skrive tallet 1 233 på utvidet form. I den andre linja har vi brukt potenser med 10 som grunntall i stedet for å skrive 1 000, 100 og så videre. Legg merke til at $$ 10={10}^1$$ og $$ 1={10}^0$$. Med denne skrivemåten får vi at eksponentene til tierpotensene øker med 1 for hvert ledd når vi går mot venstre i regnestykket. I titallsystemet bruker vi potenser av 10. I andre posisjonsbaserte tallsystemer får vi potenser med andre grunntall.

Skriv inn tallet 1 233 i tabellen nedenfor ved å plassere ett siffer i hver kolonne.

Hva blir tallet 734 skrevet på utvidet form med potenser?

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC

Bilde: jamdesign

Datamaskiner bruker ikke titallsystemet internt, men totallsystemet. Dette er et tallsystem der vi bare har to symboler. Vi kaller dette det binære tallsystemet. I dette tallsystemet har vi bare to symboler: 0 og 1.

10 i totallsystemet betyr ikke det samme som 10 i titallsystemet. For å vise at vi mener 10 i totallsystemet, skriver vi $$ {10}_2$$, det vil si at vi setter på et lite totall nede til høyre.

På samme måte som med titallsystemet bruker vi tallposisjonen hvis vi trenger å beskrive en høyere verdi enn det vi har sifre til. Vi begynner å telle:

En: $$ 1_2$$. Dette er det samme som 1 i titallsystemet.

To: Vi må bruke to sifre siden vi ikke har flere enn to ulike symboler (0 og 1). Da får vi $$ {10}_2$$. Dette blir tilsvarende som når vi kommer til 9 i titallsystemet og må bruke to sifre for å få én mer (10).

Tre: Vi øker fra to til tre ved å la nulltallet til høyre bli til 1: $$ {11}_2$$.

Fire: Da har vi ikke flere sifre, og vi må bruke tre sifre for å lage én mer enn tre. Vi får $$ {100}_2$$.

Nedenfor har vi oppsummert resultatene over. Vi har plassert ett siffer i hver kolonne i tabellen for tallene i totallsystemet. Klarer du å fylle ut resten av tabellen?

I titallsystemet kaller vi posisjonene enerplassen, tierplassen, hundrerplassen og så videre. Posisjonene blir alltid ti ganger mer verdt når vi går én posisjon til venstre. Siden vi bare har to tallverdier i totallsystemet, blir hver posisjon verdt to ganger verdien av den til høyre. Til venstre for enerplassen får vi derfor toerplassen, som tilsvarer $$ 2^1$$, deretter firerplassen ($$ 2^2$$), åtterplassen ($$ 2^3$$) og så videre.

Hva blir "verdien" til de to neste posisjonene i totallsystemet?

Skriv $$ 1 {001}_2$$ på utvidet form med potenser. (Husk at her må du bruke potenser der grunntallet er 2.)

Omgjøring fra totallsystemet til titallsystemet

Informasjonen over kan vi bruke til å gjøre om et tall fra totallsystemet til titallsystemet. Hvis vi tar det binære tallet 101 000₂ og legger det inn i tabellen under, kan vi enkelt gjøre det om til titallsystemet.

Den første eneren har derfor verdien 32 i titallsystemet siden den bidrar med $$ 1·32=32$$. Den neste eneren har verdien 8. Tallet 101 000₂ er derfor $$ 32+8=40$$ i titallsystemet. Merk at vi ikke får noe bidrag på 16, 4, 2 eller 1 siden sifferet der er 0.

40 i titallsystemet er derfor 101 000 i det totallsystemet. Matematisk blir det $$ 40=101 {000}_2$$.

Hvor mye er 10 110₂ i titallsystemet?

Omgjøring fra titallsystemet til totallsystemet

I titallsystemet betyr tallet 321 at vi har 3 hundrere, 2 tiere og 1 ener. I totallsystemet må vi helt tilsvarende finne ut hvor mange enere, toere, firere, åttere og så videre vi har.

Vi skal gjøre om 22 til totallsystemet. Vi kan bruke følgende rutine, eller algoritme:

• 22 er mindre enn 32 og større enn 16. Vi skal derfor ha én "sekstener" når 22 skal skrives som binært tall. Da står vi igjen med $$ 22-16=6$$.

• 6 er mindre enn 8 og større enn 4. Vi skal derfor ha ingen åttere, men én firer. Da står vi igjen med $$ 6-4=2$$.

• Vi skal ha én toer. Da står vi igjen med $$ 2-2=0$$, og skal derfor ikke ha noen enere.

Nedenfor har vi satt opp resultatet i en tabell.

Resultatet blir $$ 22=10 {110}_2$$.

Hva blir 39 i totallsystemet?

Sekstentallsystemet (det heksadesimale systemet)

I sekstentallsystemet har vi 16 sifre. Vi starter med de første ti, som er identisk med tallene fra titallsystemet. Når vi kommer over ni, tar vi i bruk bokstavene A–F:

Hva blir tallet $$ 2\mathrm{C}{4}_{16}$$ gjort om til titallsystemet?

Du kan lese mer om sekstentallsystemet og andre tallsystemer nedenfor.