Likninger med rasjonale uttrykk

$x=0$ gir $0$ i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl}x·\frac{2}{x}-x·4& = & x·0\\ & & \\ 2-4x& =& 0\\ & & \\ -2x& =& -2\\ & & \\ x& =& \frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

$x=0$ gir $0$ i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl}x·3-x·\frac{2}{x}& = & x·-\frac{1}{x}\\ & & \\ 2x-2& =& -1\\ & & \\ 3x& =& 1\\ & & \\ x& =& \frac{1}{3}\end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

Vi starter med å løse likningen

$\begin{array}{rcl}{x}^2-3x+2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4·1·2}}{2·1}=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}\\ & & \\ & =& \frac{3\pm 1}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{3+1}{2}=2 \vee x_2=\frac{3-1}{2}=1\end{array}$

$x^2-3x+2$ har altså nullpunktene $x=1$ og $x=2$. Disse løsningene gir $0$ i nevneren på høyre side av likningen og kan ikke godtas som løsning av likningen. Den første brøken på venstre side av likningen er null når $x=1$, den andre er null når $x=2$.

Vi må forkaste løsningene $x=1$ og $x=2$.

Fra oppgaven over har vi at fellesnevneren til likningen er $(x-1)(x-2)$.

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x-1}+\frac{1}{x-2}& = & \frac{x}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\\ & & \\ \frac{2·\cancel{\left(x-1\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{x-1}}+\frac{1·\left(x-1\right)\cancel{\left(x-2\right)}}{\cancel{x-2}}& =& \frac{x·\cancel{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}}{\cancel{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}}\\ & & \\ 2\left(x-2\right)+\left(x-1\right)& =& x\\ & & \\ 2x-4+x-1& =& x\\ & & \\ 2x+x-x& =& 4+1\\ & & \\ 2x& =& 5\\ & & \\ x& =& \frac{5}{2}\end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

Vi har fra oppgave c) at $x^2-3x+2$ har nullpunktene $x=1$ og $x=2$. Disse løsningene gir $0$ i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{2\left(x-1\right)}+\frac{1}{x-2}& = & \frac{x-3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\\ & & \\ \frac{2·\cancel{2}\cancel{\left(x-1\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{2}\cancel{\left(x-1\right)}}+\frac{1·2\left(x-1\right)\cancel{\left(x-2\right)}}{\cancel{x-2}}& =& \frac{\left(x-3\right)·2\cancel{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}}{\cancel{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}}\\ & & \\ 2\left(x-2\right)+2\left(x-1\right)& =& 2\left(x-3\right)\\ & & \\ 2x-4+2x-2& =& 2x-6\\ & & \\ 2 x+2x-2x& =& 4+2-6\\ & & \\ 2x& =& 0\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$

Denne løsningen skal ikke forkastes.

Vi har fra oppgave c) at $x^2-3x+2$ har nullpunktene $x=1$ og $x=2$. Disse løsningene gir $0$ i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2\left(x-1\right)}-\frac{1}{x-2}& = & \frac{x-3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\\ & & \\ \frac{3·\cancel{2}\cancel{\left(x-1\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{2}\cancel{\left(x-1\right)}}-\frac{1·2\left(x-1\right)\cancel{\left(x-2\right)}}{\cancel{x-2}}& =& \frac{\left(x-3\right)·2\cancel{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}}{\cancel{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}}\\ & & \\ 3\left(x-2\right)-2\left(x-1\right)& =& 2\left(x-3\right)\\ & & \\ 3x-6-2x+2& =& 2x-6\\ & & \\ 3x-2x-2x& =& 6-2-6\\ & & \\ -x& =& -2\\ & & \\ x& =& 2\end{array}$

Likningen har ingen løsning fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for $x=2$.

Likningen har ingen løsning.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Merk hvordan GeoGebra markerer at likningen ikke har løsning. Vi har her prøvd både eksakt og tilnærma løsning.