Smittespredning og R-tall

Vi må dele antall nye smittede på de 4 som var smittet i første runde.

$$ \frac{10}{4}=2,5$$

Hver smittet person smittet i gjennomsnitt 2,5 nye personer i løpet av den første uka. En annen måte å si det på er at det er i gjennomsnitt 2,5 nye smittede per smittet person.

Husk hvordan vi bruker vekstfaktoren:

Ny verdi = gammel verdi · vekstfaktor

Vi regner ut vekstfaktoren ved å ta ny verdi og dele på gammel verdi. Dette blir nøyaktig samme regnestykke som i oppgave a).

Vekstfaktoren for økningen i antall nye smittede er 2,5.

Vi har regnet ut R-tallet i oppgave a) (og b)). R-tallet for denne utviklingen er 2,5.

At R-tallet er større enn 1, betyr at vekstfaktoren for endringen i antall nye smittede er større enn 1. Det betyr at hver smittet person i gjennomsnitt smitter mer enn 1 ny person. Det betyr at det blir flere antall nye smittede enn i forrige runde, som igjen betyr at smitten øker.

Vi har egentlig antatt at en smittet person er smitteførende i ei uke. Etter det vil ikke personen kunne smitte andre.

Her kan vi regne med vekstfaktor på vanlig måte. For hver uke øker antall nye smittede med en faktor 2,5. Antall nye smittede i løpet av den andre uka blir

$$ \text{10·2,5=25}$$

Alternativt kan vi ta utgangspunkt i de 4 som var smittet først og multiplisere med vekstfaktoren 2 ganger siden det går 2 uker.

$$ {\text{4·2,5·2,5=4·2,5}}^2=25$$

Det vil bli 25 nye smittede i løpet av den andre uka.

Vi regner med vekstfaktor på vanlig måte, som betyr at for hver uke øker antall nye smittede med en faktor 2,5. Antall nye smittede i løpet av den 5. uka blir

$$ {\text{4·2,5}}^5=391$$

Studer eksemplene 4 og 5 i artikkelen "Vekstfaktor".

Vi setter opp en likning der antall nye smittede etter $$ x$$ uker er lik 10 000 og løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

$$ {\text{4·2,5}}^x=10 000$$

Etter den niende uka vil antall nye smittede ha passert 10 000 dersom R-tallet er 2,5.

Tiltakene ble i hovedsak gjennomført for at det ikke skulle bli for mange smittede samtidig, noe som betyr at mange får behov for å bli innlagt på sykehus samtidig, og sykehuskapasiteten kan fort bli sprengt. I starten visste vi ikke heller helt sikkert hvor farlig sykdommen var.

Du kan lese mer om dette i artikkelen "Smittespredning – modeller".

En reduksjon på 20 prosent betyr at vekstfaktoren for endring i R-tallet er

$$ \text{1-}\frac{20}{100}=1-0,2=0,8$$

Det nye R-tallet blir da

$$ \text{2,5·0,8=2,0}$$

Vi regner ut vekstfaktoren for endringen, som er ny verdi delt på gammel verdi.

$$ \frac{1,5}{2,5}=0,6$$

Klarer du å se hvilken prosentvis nedgang som gir en vekstfaktor på 0,6? Vi kan regne det ut ved å sette dette inn i formelen for vekstfaktor ved en nedgang, og vi setter $$ x$$ lik den ukjente prosenten vi skal finne.

$$ \begin{array}{rcl}1-\frac{x}{100} & =& 0,6\\ -\frac{x}{100} & =& 0,6-1\\ \frac{x}{100}·100 & =& 0,4·100\\ x & =& 40\\ & & \end{array}$$

Vi kan også løse likningen med CAS.

En nedgang i R-tallet fra 2,5 til 1,5 gir en vekstfaktor på 0,6, noe som tilsvarer 40 prosents nedgang. R-tallet må reduseres med 40 prosent.

Selv om summen av prosenttallene for tiltakene stenge ned skoler og krav om munnbind er 40, gir disse tiltakene mindre enn 40 prosents reduksjon i R-tallet. Vi kan forklare dette slik:

20 prosents reduksjon i R-tallet for tiltaket stenge ned skoler betyr at hver smittet person i gjennomsnitt smitter 20 prosents færre andre personer. En ny 20 prosents reduksjon på grunn av tiltaket krav om munnbind gir en ny 20 prosents reduksjon av et allerede redusert R-tall. Dette gjelder i alle fall om tiltakene innføres med lang nok tid etter hverandre, og som en tilnærming sier vi at dette gjelder også om tiltakene innføres samtidig.

Det betyr videre at vi først får en 20 prosents reduksjon for det ene tiltaket, for deretter å få en ny 20 prosents reduksjon for det andre. Vekstfaktoren for 20 prosents reduksjon er 0,8. Total vekstfaktor for de to endringene blir

$$ \text{0,8·0,8=0,64}$$

En (total) vekstfaktor på 0,64 tilsvarer en (total) prosentvis nedgang på 36 prosent.

Tiltaket krav om kontinuerlig nedvasking gir 5 prosents reduksjon i R-tallet, noe som betyr en vekstfaktor på 0,95. Den totale vekstfaktoren for de tre tiltakene blir

$$ \text{0,64·0,95=0,608}$$

Den totale vekstfaktoren kan maksimalt være 0,6 for at det skal være en reduksjon på minst 40 prosent. Det vil si at det bare nesten holder med disse tre tiltakene.

Vekstfaktoren for tiltaket håndhygiene blir 0,9. Den totale vekstfaktoren blir

$$ \text{0,64·0,9=0,576}$$

Den totale vekstfaktoren er mindre enn 0,6, og da er reduksjonen i R-tallet større enn 40 prosent.

Her skal vi finne ut hvor mange prosent 0,3 er av 1,25.

$$ \frac{0,3}{1,25}·100 \%=24 \%$$

Reduksjonen i R-tallet må være på minst 24 prosent.

Vi må i alle fall velge minst to tiltak. Først prøver vi om det holder med tiltak der summen av prosenttallene er 25.

Vi kan kombinere prosenttall på 10 og 15 eller prosenttall på 10, 5 og 10 for at summen av prosenttallene skal bli 25. Vi ser at ingen av disse kombinasjonene av tiltak gir stor nok reduksjon i R-tallet. Da må vi velge tiltak der summen av prosenttallene er 30.

Vi kan kombinere prosenttall på 10 og 20 eller prosenttall på 10, 15 og 5 for at summen av prosenttallene skal bli 30. Begge disse tiltakene gir mer enn 24 prosents reduksjon i R-tallet, men det er kombinasjonen av tiltak med prosenttallene 10, 15 og 5 som kommer nærmest kravet om 24 prosents reduksjon.

Vi begynner med å finne det nye R-tallet, som er lik hvor mange personer i gjennomsnitt hver smittet person klarer å smitte.

R-tallet $$ \text{=}\frac{21}{36}=0,583$$

Vi må finne ut hvor mange prosent R-tallet har endret seg. Vi finner først vekstfaktoren for endringen, som er nytt R-tall delt på gammelt R-tall.

$$ \frac{0,583}{1}=0,583$$

Legg merke til at siden det opprinnelige R-tallet var 1, ble vekstfaktoren for endringen i R-tall lik det nye R-tallet.

Så må vi finne ut hvor mange prosent denne vekstfaktoren tilsvarer.

$$ \begin{array}{rcl}1-\frac{x}{100} & =& 0,583\\ -\frac{x}{100} & =& 0,583-1\\ \frac{x}{100}·100 & =& 0,417·100\\ x & =& 41,7\\ & & \end{array}$$

En vekstfaktor på 0,583 betyr at R-tallet synker med 41,7 prosent. Så mye må R-tallet synke for at kravet til styresmaktene skal oppfylles.

De tre tiltakene som gir lavest reduksjon i R-tallet, har sum prosenttall $$ \text{15+5+20=40}$$. Det vil i alle fall ikke være nok til å etterkomme kravet om 41,7 prosents reduksjon. Vi må altså velge enten portforbud eller lockdown. Med lockdown kommer vi langt over det som er krevd, så vi satser først på kombinasjonen portforbud (vekstfaktor 0,6) og stenge kollektivtransport (vekstfaktor 0,95). Den totale vekstfaktoren blir

$$ \text{0,6·0,95=0,57}$$

Dette tilsvarer en reduksjon i R-tallet på

$$ $ \left(1-0,57\right)·100 \%=43 \%$$$

Da har vi fått en reduksjon i R-tallet som er litt større enn det som er krevd. Andre kombinasjoner av tiltak vil gi større reduksjon (og kanskje mer misnøye i befolkningen).