Lineær regresjon

Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000.

a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon $f$ som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La $x$ være antall år etter 1950 og $f\left(x\right)$ folkemengden i millioner.

vis fasit

Jeg valgte «Regneark». La punktene fra tabellen nedenfor inn i kolonne A og B.

x	0	10	20	30	40	50
f(x)	3,2	3,6	3,9	4,1	4,2	4,5

Merk et området A1:B6. Jeg valgte så «Regresjonsanalyse» og «Analyser».

Som regresjonsmodell valgte jeg «Lineær»

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Funksjonen $f$ kan beskrives med uttrykket $f\left(x\right)=0,024x+3,315$

Jeg valgte «Kopier til grafikkfeltet»

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

b) Hvor mye øker folkemengden per år ut fra uttrykket du fant i a)?

c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 2050?

Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 2000.

a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon $S$ som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp.

La x være antall år etter 1973 og $S\left(x\right)$ utslippet av svoveldioksid i tusen tonn.

vis fasit

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Jeg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen $S$ kan beskrives med uttrykket $S\left(x\right)=-5,39x+158$

b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn?

c) Hva vil utslippet være i år 2010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret.

vis fasit

Utslipp i år 2010:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Utslippet kan ikke være negativt. Modellen ovenfor kan ikke brukes til å anslå utslipp i lang tid framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, ser vi at modellen passer bra fram til 1996. Modell en passer dårlig etter 1996.

Tabellen viser utviklingen i prisindeksen på frukt, tobakk og sko.

1. Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng som viser prisutviklingen for hver av varene i tabellen ovenfor. La $x$ være antall år fra 1998, $F\left(x\right)$ prisutviklingen på frukt, $T\left(x\right)$ prisutviklingen for tobakk og $S\left(x\right)$ prisutviklingen for sko og annet fottøy.

   vis fasit

   Frukt: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $F\left(x\right)=0,8x+101$.

   Tobakk: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $T\left(x\right)=7,7x+100$.

   Sko og annet fottøy: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $S\left(x\right)=-2,2x+104$.

   

   Åpne bilde i et nytt vindu

   CC BY-NC-SA

   Bilde: Bjarne Skurdal

2. Bruk modellene du fant i a), og finn prisindeksen på frukt, tobakk og sko og annet fottøy i 2005.

   vis fasit

   Prisindeks i 2005 for frukt er $0,8·8+101=107,4$

   Prisindeks i 2005 for tobakk er $7,7·8+100=161,6$

   Prisindeks i 2005 for sko og annet er $-2,2·8+104=86,4$

3. Hvordan synes du modellene dine stemmer med punktene?

   vis fasit

   Modellene stemmer ganske bra med de observerte verdiene.

Tabellen viser prisutviklingen for varegruppen klær i perioden 1997 til 2004.

1. Bruk tabellen og et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng mellom årstallene og prisutviklingen på klær.
   La $x$være antall år fra 1990 og $P\left(x\right)$ prisutviklingen på klær.

   vis fasit

   Jeg bruker GeoGebra og finner den lineære modellen

   $P\left(x\right)=-4,3x+136$

2. Hva var prisindeksen i 2007 og 1990 etter denne modellen?

   vis fasit

   Prisindeks i 2007 er $P\left(17\right)=-4,3·17+135,9=62,8$

   Prisindeks i 1990 er $P\left(0\right)=-4,3·0+135,9=135,9$

3. Tabellen ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrå (SSB). Ifølge SSB var prisindeksen for varegruppen klær i 2007 på 61,6 og i 1990 på 99,5. Hvordan stemmer denne indeksen med indeksen du fikk ved å bruke modellen?

   vis fasit

   Modellen bygger på de observerte verdiene i perioden 1997 til 2008. I 2007 gir modellen en prisindeks på 62,8, mens den i virkeligheten var 61,6. Vi kan dermed si at modellen treffer meget bra når det gjelder 2007.

   I perioden fra 1997 til 2008 falt prisen på klær. Modellen vår vil dermed vise at prisen på klær falt fra 1990 og framover. Prisindeksen på 133,3 vil være den høyeste i hele perioden 1990 – 2008.

   Når den virkelige prisindeksen i 1990 var på 99,5, betyr det at vår modell treffer dårlig. Prisutviklingen på klær følger ikke vår modell i perioden 1990 til 1997. Fra 1990 fram til 1997 har det faktisk vært en økning i prisindeksen.