Funksjoner, likninger og ulikheter av andre grad
3.3.10
Løs oppgaven uten hjelpemidler.
Vi har gitt funksjonen
a) Sett . Finn nullpunktene til funksjonen ved å løse likningen .
Vis løsning
Med får vi . Vi løser med andregradsformelen:
b) Hva må være for at skal være et nullpunkt?
Vis løsning
Hvis skal være et nullpunkt, betyr det at . Vi setter inn 1 for i funksjonen og setter den lik 0.
c) Hva må være for at funksjonsverdiene til skal være negative mellom 0 og 3?
Tips
En andregradsfunksjon endrer fortegn bare i nullpunktene. (Tenk over hvorfor det er sånn!) Derfor må vi finne ut hva må være for at nullpunktene skal være 0 og 3.
Vis løsning
Vi vet at et andregradsuttrykk kan faktoriseres ved hjelp av nullpunktene ved å skrive der og er nullpunktene til den tilsvarende andregradsfunksjonen. Vi prøver dette her.
Når vi også vet at har et bunnpunkt, viser dette at funksjonsverdiene til
d) Hva må
Vis løsning
Alternativ 1 – direkte faktorisering
Vi lager et fullstendig kvadrat og følger måten som er brukt på siden Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater der vi bestemmer hva leddet
Vi får, dersom vi sammenlikner med andre kvadratsetning
De tre første leddene i
og er et fullstendig kvadrat. Det betyr at summen av de to siste leddene må være lik null for at hele uttrykket skal være et fullstendig kvadrat.
Alternativ 2 – andregradsformelen
I et fullstendig kvadrat har vi bare én løsning på likningen
I overgangen mellom den tredje og den fjerde linja har vi brukt at dersom kvadratroten av noe skal være null, må dette "noe" være null.
e) Hva må
Vis løsning
Dersom funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3), må vi ha at
f) Finn på et annet vilkår til funksjonen, og finn ut hva
g) Bruk GeoGebra eller lignende til å lage en glider for konstanten
3.3.11
Bruk GeoGebra eller tilsvarende når du løser disse oppgavene.
I et koordinatsystem har vi to punkt,
a) Kan du finne ei rett linje som går gjennom de to punktene? Kall funksjonsuttrykket til linja for
Vis løsningsforslag
Vi tegner punktene inn i GeoGebra og bruker verktøyet "Linje mellom to punkt".
Vi får at
(Verktøyet for rett linje lager egentlig ikke en funksjon i GeoGebra, men det bryr vi oss ikke om nå.)
b) Kan du finne en andregradsfunksjon der grafen går gjennom de to punktene? Kall funksjonsuttrykket for
Tips
Oppgaven kan løses på flere måter. Én måte er å bruke regresjon, men da kreves det ett punkt til i tillegg til
Hvorfor tror du regresjonsverktøyet krever ett punkt til?
Vis løsningsforslag
Vi trenger ett punkt til og velger for eksempel punktet
Vi bruker kommandoen
Med valget vårt av punkt
Spiller rekkefølgen på punktene i kommandoen noen rolle?
c) Løs likningen
Vis løsningsforslag
Her slipper vi å regne siden vi vet at løsningen er punktene
d) Løs ulikheten
Vis løsningsforslag
Med vårt valg av punkt
e) Kan du finne en annen andregradsfunksjon
Tips
Her må vi finne en andregradsfunksjon der grafen krummer den andre veien enn i forrige oppgave. Da må det tredje punktet vi trenger (vi kaller det
Vis løsningsforslag
Vi får dette til ved å plassere et tredje punkt
Med vårt valg av punkt
f) Hvor mange mulige rette linjer kan vi lage i oppgave a)? Hvor mange mulige andregradsfunksjoner kan vi lage der grafene går gjennom punktene
Vis løsningsforslag
Ei rett linje er entydig bestemt av to punkt på linja. Altså finnes det bare én mulig funksjon her. For andregradsfunksjonen finnes det uendelig mange løsninger siden vi kan velge det tredje punktet (nesten) hvor som helst.
g) Flytt på punkt
Delvis løsning
I tillegg til at
h) Kan du lage en grafisk framstilling som viser hvilket område i koordinatsystemet punktet
i) Kan du finne en tredjegradsfunksjon der grafen går gjennom de to punktene? Hva med en fjerdegradsfunksjon?
Delvis løsning
For hver grad høyere funksjonen blir, trenger vi et ekstra punkt til regresjonskommandoen. Vi trenger ett mer punkt enn graden på polynomfunksjonen, og når disse punktene kan velges fritt, får vi uendelig mange tredje- og fjerdegradsfunksjoner som går gjennom de to punktene