Bruk av formlikhet for å regne ut ukjente sider i trekanter

Trekantene $\mathrm{\Delta }ABC$ og $\mathrm{\Delta }DEF$ er formlike. Regn ut lengdene til de ukjente sidene.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Her ser vi at sidene $AB$ og $DE$ er tilsvarende sider fordi begge er motstående sider til vinklene på $88,7°$. Sidene $AC$ og $DF$ ligger begge motsatt av vinklene som er $63,4°$ og er også tilsvarende. Det samme er sidene $BC$ og $EF$.

Vi kan finne de ukjente sidene ved å bruke målestokken.

Vi regner ut målestokken når vi går fra $∆DEF$ til $\mathrm{\Delta }ABC$ . Målestokken er

$\frac{AB}{DE}=\frac{9}{6}=1,5$

Det betyr at

$AC=DF·1,5=5,4·1,5=8,1$.

Når vi går motsatt vei, må vi dele med målestokken. Det betyr at

$EF=\frac{BC}{1,5}=\frac{4,2}{1,5}=2,8$

Et tre står på en horisontal slette. Vi skal finne ut hvor høyt treet er uten å felle det.

Utstyr: Sol og metermål

Vi setter en pinne ned i bakken litt bortenfor treet og måler avstanden skyggen kaster ved pinnen og ved treet. Se figuren nedenfor.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Både pinnen og treet danner en vinkel på 90° med bakken, og solstrålene danner samme vinkel med bakken der hvor pinnen står som der hvor treet står. Vi får derfor to formlike trekanter, og det fremgår av figuren hvilke sider som er tilsvarende.

Vi regner ut målestokken når vi går fra den minste trekanten til den største trekanten

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Målestokken}& = & \frac{15 \mathrm{m}}{1,2 \mathrm{m}}=12,5\\ & & \\ \mathrm{Høyden} \mathrm{til} \mathrm{treet}& =& 1,0 \mathrm{m}·12,5=12,5 \mathrm{m}\end{array}$

Legg merke til at vi også kan finne den ukjente siden ved å bruke likning.

Vi setter høyden av treet lik $x$, og siden forholdet mellom tilsvarende sider er konstant, kan vi sette opp og løse likningen

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{1,0}& = & \frac{15}{1,2}\\ & & \\ x& =& 12,5·1,0\\ & & \\ x& =& 12,5\end{array}$

Treet er $12,5$ meter høyt.

Spørsmål

Løsningsmetoden vår stiller krav til terrenget der treet står. Hvilket krav er det?

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

På figuren er $AB$ og $DE$ parallelle. Linjestykkene $AE$ og $BD$ skjærer hverandre i $C$.

Oppgave

Vis at $\mathrm{\Delta }ACB$ og $∆EDC$ er formlike, og bruk dette til å regne ut lengden til siden $BC$.

Løsning

$\angle ACB=\angle DCE$ siden disse er toppvinkler. Da er sidene $AB$ og $ED$ tilsvarende sider.

$\angle BAC=\angle CDE$ fordi venstre vinkelbein er felles og høyre vinkelbein er parallelle i de to vinklene. (Samsvarende vinkler ved parallelle vinkelbein).

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Sidene $BC$ og $EC$ er da tilsvarende sider fordi de er motstående sider til like store vinkler.

Vinklene i de to trekantene er parvis like store, og trekantene er formlike.
Vi regner ut målestokken når vi går fra den minste trekanten til den største.

$\mathrm{Målestokken}=\frac{150 \mathrm{cm}}{60 \mathrm{cm}}=2,5$

Da er

$BC=45 \mathrm{cm}·2,5=113 \mathrm{cm}$

Også her kan vi løse oppgaven ved å sette opp og løse en likning siden forholdet mellom tilsvarende sider er konstant. Det er lurt å alltid begynne med den ukjente siden.

$\begin{array}{rcl} \frac{BC}{EC}& = & \frac{AB}{DE}\\ & & \\ \frac{BC}{45 \mathrm{cm}}& =& \frac{150 \mathrm{cm}}{60 \mathrm{cm}}\\ & & \\ \frac{BC·\cancel{45 \mathrm{cm}}}{\cancel{45 \mathrm{cm}}}& =& \frac{150 \mathrm{cm}·45 \mathrm{cm}}{60 \mathrm{cm}}\\ & & \\ BC& =& 113 \mathrm{cm}\end{array}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: GeoGebra

Likningen kan vi også løse med CAS i GeoGebra, se figuren.