Oppgaver og aktiviteter

Volum og overflate

De fire første oppgavene skal løses uten hjelpemidler.

2.6.1

Fyll ut tabellen

m³	dm³	cm³	mm³
0,002	2	2 000	2 000 000
	15
		250
			760 000

vis fasit

m³	dm³	cm³	mm³
0,002	2	2 000	2 000 000
0,015	15	15 000	15 000 000
0,000 250	0,250	250	250 000
0,000 760	0,760	760	760 000

2.6.2

Gjør om til kubikkdesimeter, dm³.

a) 6 700 cm³

vis fasit

$6 700 {cm}^{3} = 6, 7 {dm}^{3}$

b) 1 m³

vis fasit

$1 m^{3} = 1 000 {dm}^{3}$

c) 900 000 mm³

vis fasit

$900 000 {mm}^{3} = 0, 9 {dm}^{3}$

2.6.3

Legg sammen og skriv svaret i liter.

a) $3, 4 {dm}^{3} + 800 {cm}^{3} + 0, 001 m^{3}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3, 4 {dm}^{3} & + & 800 {cm}^{3} + 0, 001 m^{3} \\ = & 3, 4 {dm}^{3} + 0, 8 {dm}^{3} + 1, 0 {dm}^{3} \\ = & 5, 2 {dm}^{3} \\ = & 5, 2 L \end{array}$

b) $430 000 {mm}^{3} + 7 800 {cm}^{3} + 0, 045 m^{3}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 430 000 {mm}^{3} & + & 7 800 {cm}^{3} + 0, 045 m^{3} \\ = & 0, 43 {dm}^{3} + 7, 8 {dm}^{3} + 45 {dm}^{3} \\ = & 53, 23 {dm}^{3} \\ = & 53, 23 L \end{array}$

2.6.4

Fyll ut tabellen

L	dL	cL	mL
2,1	21	210	2 100
	150
		25	250
			76

vis fasit

L	dL	cL	mL
2,1	21	210	2 100
15	150	1 500	15 000
0,25	2,5	25	250
0,076	0,76	7,6	76

2.6.5

En eske har form som vist på figuren. Esken har ikke lokk.

Eske med mål, lengde 60,0 cm, bredde 22, 0 cm og høyde 20,0 cm. Illustrasjon.

a) Regn ut arealet av grunnflaten

vis fasit

60 komma null cm multiplisert med 22 komma 0 cm er lik 1320 kvadrat cm. cas-utkilpp.

Arealet av grunnflaten er $1 320 {cm}^{2}$ .

b) Regn ut volumet av esken. Gi svaret i liter.

vis fasit

1320 kvadrat cm multiplisert med 20 cm er lik 26400 kubikk cm. cas-utkilpp.

Volumet av esken er $26 400 {cm}^{3} = 26, 4 {dm}^{3} = 26, 4 L$ .

c) Regn ut overflata av esken.

vis fasit

Overflata av esken er lik arealet av bunnen pluss arealet av to langsider pluss arealet av to endesider, altså totalt 5 sider.

Arealtet av bunnen + arealet av de 4 sideflatene er lik 4600 kvadrat cm. cas-utklipp.

Overflata er $4 600 {cm}^{2}$ .

2.6.6

En kartong med appelsinjuice har målene:
Høyde 24,0 cm, bredde 6,6 cm og dybde 6,4 cm.

Hvor mye rommer juicekartongen? Gi svaret i liter.

vis fasit

Volumet er lik 6 komma 6 cm multilpisert med 6 komma 4 cm multiplisert med 24 cm. casutklipp.

Kartongen rommer $1 013, 8 {cm}^{3} = 1, 0 {dm}^{3} = 1, 0 L$ .

2.6.7

En tilhenger har følgende mål.
Lengde: 2037 mm
Bredde: 1160 mm
Høyde: 350 mm

a) Hvor mange liter rommer tilhengeren?

vis fasit

Volumet er lik 20 komma 37 dm multilpisert med 11 komma 60 dm multiplisert med 3 komma 50 dm. casutklipp.

Tilhengeren rommer 827 liter.

Største nyttelast tilhengeren kan ha er 610 kg.

b) Hvor tykt lag med grus kan du fylle oppi tilhengeren når 1 liter grus veier 2,5 kg?

vis fasit

Her kan det være greit å sette opp en likning. Vi kan regne ut massen i kg ved å multiplisere antall liter grus med antall kg grus per liter. Antall liter grus får vi ved å multiplisere lengden med bredden og videre med den ukjente høyden, som vi her kaller $h$ . Dette regnestykket skal bli 610 kg, som er den største nyttelasten.

Vi får

$20, 37 dm \cdot 11, 60 dm \cdot h \cdot 2, 5 \frac{kg}{{dm}^{3}} = 610 kg$

Her har vi tatt med enhetene for å kontrollere at vi ikke har andre typer enn dm og kg. Når vi løser dette i GeoGebra, kan vi skrive inn enhetene og få tallsvaret med riktig enhet i tillegg! Da må vi i tilfelle bruke kommandoen "Løs(likning, variabel)" sammen med knappen for numerisk utregning $\approx$ .

20 komma 27 dm multiplisert med 11 komma 60 dm multiplisert med høyden multiplisert med 2.5 kg pr kubikk dm er lik 600 kg. casutklipp.

Det kan fylles et gruslag med en tykkelse på $1, 03 dm = 10, 3 cm$ .

Alternativ løsning

Vi finner først ut hvor mange liter grus vi får av 610 kg. Deretter regner vi ut arealet av grunnflaten i tilhengeren. Til slutt tar vi volumet av grus og deler på grunnflaten for å finne høyden. Vi tar hele tiden med enhetene i CAS-utregningen som kontroll.

610 kg dividert på 2,5 kg per liter er lik 244 liter.casutklipp.

2.6.8

Et svømmebasseng har en rektangelformet bunn med lengde 9,80 m og bredde 5,20 m. Høyden er over alt 1,90 m. Alle målene er innvendige. Veggene og bunnen i bassenget er av betong og er 20 cm tykke.

a) Hvor mange kubikkmeter betong har det gått med til å lage vegger og bunn?

vis fasit

Her er det kanskje enklest å regne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekke de fra hverandre. For å spare litt inntasting, starter vi med å skrive inn de tre målene i variablene $l, b$ og $h$ . Vi tar med enheten "m" her for å få enhet på svaret.

Lengde = 9,8, bredde = 5,2 og høyde = 1,9. casutklipp.

Så regner vi ut det utvendige volumet inkludert vegger og gulv og det innvendige volumet og trekker disse fra hverandre.

utvendige mål minus innvendige mål.casutklipp.

Det gikk med $23, 1 m^{3}$ betong.

Alternativt kan vi regne ut volumet av bunnen og de fire veggene direkte.

b) Hvor mange kvadratmeter fliser har gått med til å bekle vegger og bunn i bassenget? Se bort i fra fuger mellom flisene.

vis fasit

Vi må regne ut (det innvendige) arealet av de fire veggene pluss bunnen.

9 komma 8 multiplisert med 5 komma 2 +9 komma 8 multiplisert med 1 komma 9 multiplisert med 2 pluss 5 komma 2 multiplisert med 1 komma 9 multiplisert med 2 .casutklipp.

Det gikk med $108 m^{2}$ fliser.

2.6.9

Figuren nedenfor viser en traktorskuffe.

Traktorskuffe med mål, lengde 230 cm, bredde 86 cm og høyde 76 cm. Illustrasjon.

Skuffen er laget av jernplater med en tykkelse på 6 mm. Jernet har en vekt på 7,87 g per cm³

Hvor mange kilo veier skuffen?

vis fasit

230 cm multiplisert med 86 cm pluss 230 cm multiplisert med 76 cm pluss86 cm multiplisert med 76 cm dividert på 2 og multiplisert med 2 multiplisert med 0 komma 6 cm multiplisert med 7 komma 87 gram per kubikkcentimeter.casutklipp.

Vekten av skuffen blir: $206805 g \approx 210 kg$ .

2.6.10

Det er planlagt å grave ut en 2 km lang kanal. Kanalen skal være 2,5 m dyp, 5 m bred øverst og 2,5 m bred i bunnen. Sidene skråner jamt.

Hvor mange kubikkmeter masse må graves ut?

vis fasit

5 meter+2 komma 5 meter dividert på 2 multiplisert med 2 komma 5 og 2000 meter.casutklipp.

Antall kubikkmeter som må graves ut er $18 750 m^{3}$ .

2.6.11

En kakeboks har form som en sylinder. Kakeboksen har en diameter på 21,0 cm og en høyde på 16,0 cm. Hvor mange liter rommer kakeboksen?

vis fasit

Pi multiplisert med parantes 21 dividert på 2 parantes slutt i andre multiplisert med 16

Kakeboksen rommer $5, 5 liter$ .

2.6.12

En oljetank har form som en sylinder. Oljetanken er 5,0 meter høy. Diameteren er 3,0 meter.

a) Hvor mange liter olje rommer oljetanken?

vis fasit

Pi multiplisert med parantes 3 dividert på 2 parantes slutt i andre multiplisert med 5.casutklipp.

Volumet av oljetanken er $35 m^{3} = 35 000 {dm}^{3} = 35 000 liter$ .

b) Regn ut overflaten av oljetanken.

vis fasit

Overflaten $O$ av en sylinder med topp og bunn er gitt ved formelen $O = 2 π r \cdot h + 2 \cdot π r^{2}$ .

2 multiplisert med pi multiplisert med 1 komma 5 og 5 pluss 2 multiplisert med pi og 1 komma 5 i andre.casutklipp.

Overflaten av oljetanken er $61 m^{2}$ .

2.6.13

En gryte har form som en sylinder. Gryta har en diameter på 260 mm og rommer 8 liter. Regn ut høyden til gryta.

vis fasit

8 dm i tredje er lik pi multiplisert med 1 komma 3 dm i andre multiplisert med høyden.casutklipp.

Høyden til gryta er $1, 51 dm = 151 mm$ .

2.6.14

En tresøyle har form som en sylinder med diameter 30 cm og høyde 4,20 m. Søylen skal gis to strøk maling. En liter maling dekker 6 m². Hvor mye maling vil gå med?

vis fasit

Regner ikke topp og bunn i dette tilfellet.

2 multiplisert med 2 og pi og 0 komma 15 meter og 4 komma 2 meter dividert på 6 kvadratmeter over liter.casutklipp.

Det vil gå med $1, 32 liter$ maling

2.6.15

Gizapyramidene. Foto. — Gizapyramidene. Kefrenpyramiden og Keopspyramiden i Giza ved Cairo.

Verdens mest kjente pyramide, Keopspyramiden like utenfor Kairo i Egypt, har kvadratisk grunnflate med sidelengde 230 m. Høyden på pyramiden var opprinnelig 146 meter, men 10 meter har forsvunnet.

a) Finn volumet av den opprinnelige Keopspyramiden.

vis fasit

Volumet av en pyramide er gitt ved formelen $V = \frac{G \cdot h}{3}$ .

V er lik 230 meter multiplisert med 230 meter og 146 meter dividert på 3.casutklipp.

Volumet $V$ av Keopspyramiden blir $2 570 000 m^{3}$ .

Et svømmebasseng har en lengde på 25,0 meter, en bredde på 12,5 meter og en gjennomsnittsdybde på 2,4 meter.

b) Hvor mange liter rommer dette svømmebassenget?

vis fasit

V er lik 250 dm multiplisert med 125 dm og 24 dm.casutklipp.

Svømmebassenget rommer $750 000 liter$ .

c) Hvor mange slike basseng rommer den opprinnelige Keopspyramiden?

vis fasit

2570000 kubikkmeter dividert på 750 kubikkmeter.casutklipp.

Keopspyramiden rommer 3430 svømmebasseng av denne typen.

2.6.16

Gitt en kjegle med radius 12,0 cm og høyde 24,0 cm.

a) Finn volumet av kjeglen.

vis fasit

Volumet av en kjegle er gitt ved formelen $V = \frac{{πr}^{2} \cdot h}{3}$ .

Volumet er lik pi multiplisert med 12 i andre og 24 dividert på 3.casutklipp.

Volumet av kjeglen er $3619 {cm}^{3}$ .

b) Finn overflaten av kjeglen.

vis fasit

Overflaten av en kjegle med bunn er gitt ved formelen $O = {πr}^{2} + πr \cdot s$ .

Finner først sidekanten $s$ ved hjelp av Pytagoras´ læresetning.

s i andre er lik 12 i andre pluss 24 i andre.casutklipp.

Overflaten av kjeglen er $1 463 {cm}^{2}$ .

2.6.17

En kjegle har radien 2,4 dm og en sidekant på 6,4 dm.

a) Finn høyden i kjeglen.

vis fasit

Bruker Pytagoras´ lærestning og finner høyden.

$\begin{matrix} (sidekant)^{2} = (radien)^{2} + (høyden)^{2} \\ s^{2} = r^{2} + h^{2} \end{matrix}$

6 komma 4 i andre er lik 2 komma 4 i andre pluss h i andre.casutklipp.

Høyden er 5,9 dm.

b) Finn volumet av kjeglen.

vis fasit

V er lik pi multiplisert med 2 komma 4 i andre og 5 komma 9 dividert på 3.casutklipp.

Volumet er $36 {dm}^{3}$ .

2.6.18

En kuleformet appelsin har en diameter på 8,0 cm.

a) Finn overflaten av appelsinen.

vis fasit

$Overflaten = 4 \cdot π \cdot r^{2} = 4 \cdot π \cdot (4, 0 cm)^{2} = 200 {cm}^{2}$ .

b) Forklar hva overflaten er i praksis.

vis fasit

Overflaten av appelsinen er arealet av skallet.

c) Finn volumet av appelsinen.

vis fasit

$Volumet = \frac{4 \cdot π \cdot r^{3}}{3} = \frac{4 \cdot π \cdot (4, 0 cm)^{3}}{3} = 270 {cm}^{3}$ .

Skallet på appelsinen er 3 mm tykt.

d) Finn volumet av den spiselige delen av appelsinen (dersom du ikke er en som spiser skallet da).

vis fasit

Radien av selve appelsinkjøttet: $4, 0 cm - 0, 3 cm = 3, 7 cm$ .

Volumet av appelsinen uten skall: $\frac{4 \cdot π \cdot r^{3}}{3} = \frac{4 \cdot π \cdot (3, 7 cm)^{3}}{3} = 210 {cm}^{3}$ .

e) Finn volumet av skallet.

vis fasit

Volumet av skallet er ytre volum minus indre, altså $270 {cm}^{3} - 210 {cm}^{3} = 60 {cm}^{3}$ .

2.6.19

En kroneis består av en kjegleformet kjeks med is. I tillegg er det ei halvkule med is øverst. Diameteren på kjeksen er 6,0 cm. Høyden på kjeksen er 12,0 cm.

a) Finn radien i kula.

vis fasit

Radien i kula er den samme som radien på kjeksen, dvs. 3,0 cm.

b) Finn volumet av isen.

vis fasit

Volum halvkule med is: $\frac{4 \cdot π \cdot (3, 0 cm)^{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Volum av kjegle med is: $\frac{π \cdot (3, 0 cm)^{2} \cdot 12, 0 cm}{3}$

4multiplisert med 4 pi og 3 i tredje over 3 multiplisert med 1 over 2 pluss pi multiplisert med 3 i andre og 12 over 3.casutklipp.

Samlet mengde is blir $170 {cm}^{3} = 0, 17 L = 1, 7 dL$ .

CC BY-SASkrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen.

Sist faglig oppdatert 25.02.2020

Volum og overflate

2.6.1

2.6.2

2.6.3

2.6.4

2.6.5

2.6.6

2.6.7

2.6.8

2.6.9

2.6.10

2.6.11

2.6.12

2.6.13

2.6.14

2.6.15

2.6.16

2.6.17

2.6.18

2.6.19

Regler for bruk