Andregradslikninger med abc-formelen

Vi ser på den generelle andregradslikningen$a{x}^2+bx+c=0$. Vi skal utlede en generell formel for å løse slike likninger ved hjelp av fullstendige kvadrater. Repeter metoden på teorisiden "Andregradslikninger uten formel" hvis du trenger det, før du går videre. Hvis du er tøff, prøver du på egen hånd før du leser utledningen under!

Vi starter med å dele på a i alle ledd slik at vi får x alene uten koeffisient, og flytter konstantleddet over på høyre side:

$$ \begin{array}{rcl}a{x}^2+bx+c & =& \hspace{0.17em}0 |:a\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}& =& |-\frac{c}{a}\\ x^2+ \frac{b}{a}x & =& -\frac{c}{a} \end{array}$$

Vi må nå finne ut hva vi skal addere for å lage et fullstendig kvadrat på venstre side. Vi husker at dersom koeffisienten til $$ x^2$$ er lik 1, kan vi finne $$ p^2$$ ved å halvere og kvadrere koeffisienten til x:

$$ \begin{array}{rcl}p & =& \frac{b}{a}:2 = \frac{b}{2a}\\ p^2 & =& {\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\end{array}$$

Vi legger til $$ p^2$$ på begge sider av likhetstegnet og skriver om venstre side ved hjelp av første kvadratsetning. Så kan vi løse likningen for x på vanlig måte.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2 & =& -\frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\\ & & \\ {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2 & =& -\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\ & & \\ {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2 & =& \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ & & \\ x+\frac{b}{2a} & =& \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ & & \\ x & =& -\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & & \\ x & =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$$

Vi har nå kommet fram til en formel som alltid kan brukes til å løse andregradslikninger.

🤔 Tenk over: Hvorfor har vi skrevet $$ a\ne 0$$ og $$ b^2-4ac\ge 0$$ sammen med formelen?

Når vi løser en andregradslikning med abc-formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen$a{x}^2+bx+c=0$. Dette gjør vi for å kunne identifisere de tre koeffisientene a, b og c lettere. Det er nemlig fort gjort å velge feil i begynnelsen.

Det lønner seg også å forkorte bort eventuelle felles faktorer i leddene slik at utregningene i formelen blir enklest mulig. Vi ser på noen eksempler.

Når likningen har to løsninger

Vi vil løse likningen $$ x^2=5-4x$$. Vi begynner med å ordne likningen og identifisere a, b og c:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2 & =& 5-4x\\ x^2+4x-5 & =& 0\end{array}$$

Dette gir at $$ a=1, b=4$$ og $$ c=-5$$. Vi setter tallene inn i abc-formelen og finner løsningene. Legg merke til at det kan være lurt å begynne med den generelle formelen, i hvert fall fram til du er helt sikker på at du kan den.

$$ \begin{array}{rcl}x & =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ & =& \frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}\\ x & =& \frac{-4+6}{2} \vee x = \frac{-4-6}{2}\\ x & =& \frac{2}{2}=1 \vee x =\hspace{0.17em}\frac{-10}{2}=-5\end{array}$$

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for $x$ som passer i den opprinnelige likningen.

Når likningen bare har én løsning

Vi løser likningen $$ x^2+4x+4=0$$:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+4x+4& = & 0\\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}\\ x& =& \frac{-4\pm 0}{2}=-2\end{array}$$

Uttrykket under rottegnet er null. Siden vi ikke legger til eller trekker fra noe over brøkstreken i siste linje i løsningen, får vi bare én løsning. I dette tilfellet kunne vi også ha kjent igjen uttrykket på venstre side som et fullstendig kvadrat og hoppet over løsning med abc-formelen. Et fullstendig kvadrat innebærer at vi har to like faktorer, og dermed bare én løsning.

Når likningen ikke har noen reelle løsninger

Det siste eksempelet vi skal se på, er likningen $$ x^2+4=2x$$. Vi starter igjen med å ordne likningen, før vi setter inn i abc-formelen:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+4 & =& 2x\\ x^2-2x+4 & =& 0\\ x & =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & =& \frac{2\pm \sqrt{4-16}}{2}\\ & =& \frac{2\pm \sqrt{-12}}{2}\end{array}$$

Vi får $-12$ under rottegnet, og $\sqrt{-12}$ er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, det vil si at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker, gir deg løsninger med bokstaven i? Det vil si at løsningen er såkalt imaginær. For oss betyr det likevel at likningen ikke har noen løsning.