Oppgaver og aktiviteter

Modellering med andregradsfunksjoner

Mange praktiske problemer kan modelleres med andregradsfunksjoner.

3.3.12

Du skal bygge en hundeseng ved å dele av et hjørne i et rom ved hjelp av en planke på 2 m. Planken må deles i to og vil utgjøre to av veggene i hundesengen.

a) Tegn en skisse av hundesengen sett ovenfra. Kall den ene siden for $x$ , og finn et uttrykk for den andre siden der $x$ inngår.

Løsningsforslag

Siden summen av de to veggene er 2 m og den ene er $x$ , må den andre være $2 - x$ .

Rektangel med sider x og 2 minus x er plassert inne i et hjørne med vinkel 90 grader. Illustrasjon. — Skisse av hundeseng

b) Sett opp en funksjon $A (x)$ for arealet av hundesengen.

Løsningsforslag

Arealet er produktet av lengde og bredde, og vi får

$A (x) = x (2 - x) = 2 x - x^{2}$

c) Forklar at den teoretiske definisjonsmengden til funksjonen $A (x)$ er $D_{A} = ⟨ 0, 2 ⟩$ .

Løsningsforslag

Siden planken er 2 m, kan ikke noen av sidene være større enn det. Ingen av sidene kan være null eller mindre. $x$ må altså være mindre enn 2 m og større enn 0 m.

d) Kan du si noe om hva definisjonsmengden vil være i praksis? Hvorfor er dette intervallet annerledes enn det i b)?

Løsningsforslag

I praksis må sengen være bred nok og lang nok til at hunden skal få plass. Vi kan ikke si noe helt eksakt, men vi kan se for oss at sengen må være minimum en halv meter i hver retning. Da er 0,5 nedre grense for $x$ . Den øvre grensen for $x$ får vi når den andre siden er 0,5. Da kan vi løse likningen

$\begin{array}{rcl} 2 - x & = & 0, 5 \\ - x & = & 0, 5 - 2 \\ x & = & 1, 5 \end{array}$

Da blir den praktiske definisjonsmengden $[0.5, 1, 5]$ .

e) Vi setter nå $D_{A} = [0.5, 1.5]$ i resten av oppgaven. Hva blir verdimengden $V_{A}$ til funksjonen $A (x)$ ?

Løsningsforslag

Dette kan løses på flere måter. Vi kan tegne funksjonen og finne toppunktet (hvordan vet vi at funksjonen har et toppunkt?). Alternativt kan vi starte med å regne ut hvor stort arealet er når $x = 0, 5$ og når $x = 1, 5$ siden dette er grensene for definisjonsmengden.

$A (0, 5) = 2 \cdot 0, 5 - 0, 5^{2} = 1 - 0, 25 = 0, 75 A (1, 5) = 2 \cdot 1, 5 - 1, 5^{2} = 3 - 2, 25 = 0, 75$

Hvorfor får vi samme areal?

For å finne toppunktet, kan vi bruke at andregradsfunksjoner er symmetriske. Det betyr at siden vi fikk samme svar på de to utregningene over, må toppunktet ligge midt i mellom 0,5 og 1,5, altså for $x = 1$ . Da er begge sidene lik 1 m, og arealet må bli 1 m².

Den praktiske verdimengden til funksjonen blir derfor $V_{A} = [0.75, 1]$ .

f) Hvor stor er den største sengen du kan lage, og hvor lange er sidene da?

Løsningsforslag

Ut ifra løsningen i forrige oppgave får vi den største mulige hundesengen når sidene er 1 m, og da er arealet 1 m².

g) Hva er sammenhengen mellom likningen $A (x) = 0, 84$ og ulikheten $A (x) \leq 0, 84$ , og hva betyr disse i praksis?

Løsningsforslag

Når vi løser likningen, finner vi ut for hvilke $x$ -verdier arealet er lik 0,84 m². Når vi løser ulikheten, finner vi ut for hvilke $x$ -verdier arealet er mindre enn eller lik 0,84 m². Når vi skal løse ulikheten, må vi først starte med å løse den tilsvarende likningen:

$\begin{array}{rcl} A (x) & = & 0, 84 \\ 2 x - x^{2} & = & 0, 84 \\ - x^{2} + 2 x - 0, 84 & = & 0 \end{array}$

Vi løser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 0, 84)}}{2 \cdot (- 1)} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 3, 36}}{- 2} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{0, 64}}{- 2} \\ = & \frac{- 2 \pm 0, 8}{- 2} \\ x & = & \frac{- 2 + 0, 8}{- 2} = 0, 6 \lor x = \frac{- 2 - 0, 8}{- 2} = 1, 4 \end{array}$

Siden vi vet mye om funksjonen $A (x)$ fra før, ser vi at dersom $A (x) \leq 0, 84$ , må $x$ være mindre eller lik 0,6 og større eller lik 1,4. Samtidig kan ikke $x$ være mindre enn 0,5 eller større enn 1,5. Vi slipper å tegne fortegnslinje. Løsningen på ulikheten blir derfor

$x \in [0.5, 0.6] \cup [1.4, 1.5]$

Alternativ skrivemåte: $0, 5 \leq x \leq 0, 6 \lor 1, 4 \leq x \leq 1, 5$

Tegnet $\lor$ betyr "eller".

Oppgaven kan også løses grafisk eller med CAS.

3.3.13

Du skal bygge et skap på en vegg. Veggen har skråtak. Bredden på veggen er 300 cm, høyden på det høyeste er 260 cm og på det laveste 65 cm. Skapet skal være rektangulært og stå inntil den høyeste veggen. Jo høyere skapet er, jo smalere må skapet være for å få plass under skråtaket. Vi ønsker at skapet skal være så stort som mulig.

a) Vi setter bredden på skapet lik $x$ . Tegn en skisse av hvordan skapet kan se ut forfra, og forklar at høyden $h$ på skapet blir

$h = 260 - 0, 65 x$

Tips

Her kan du bruke formlike trekanter.

Løsningsforslag

I trapeset A B C D er A D og B C de parallelle sidene. A D har lengden 65 centimeter og B C har lengden 260 centimeter. A B er 300 centimeter og står vinkelrett på både A D og B C. A B er langs gulvet i et loftsrom der A D er avstanden fra gulv til tak langs den ene veggen, og B D er avstanden fra gulv til tak langs den andre veggen. Illustrasjon. — Skisse av fronten av et mulig rektangulært skap EBFG i loftsrom med skråtak

For at skapet skal bli så stort som mulig, må det plasseres inntil den høyeste veggen. Vi bruker at trekantene $G F C$ og $D H C$ er formlike. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} \frac{G F}{D H} & = & \frac{F C}{H C} \\ \frac{x}{300} & = & \frac{260 - h}{260 - 65} \\ \frac{x}{300} & = & \frac{260 - h}{195} | \cdot 195 \\ \frac{x}{300} \cdot 195 & = & \frac{260 - h}{195} \cdot 195 \\ \frac{195 x}{300} & = & 260 - h \\ h & = & 260 - \frac{195}{300} x \\ h & = & 260 - 0, 65 x \end{array}$

Merk at vi ikke multipliserte med fellesnevneren, som er produktet av 300 og 195, fordi det gir oss enklere regning når vi ønsker å ende opp med $h =$ .

b) Finn et uttrykk $A (x)$ for arealet av fronten på skapet.

Løsningsforslag

$A (x) = x \cdot h = x (260 - 0, 65 x) = 260 x - 0, 65 x^{2}$

c) Forklar hvorfor volumet av skapet blir størst når arealet $A (x)$ av fronten har sin største verdi.

Løsningsforslag

Volumet av skapet er produktet av arealet av fronten, $A (x)$ , og dybden av skapet. Vi må anta at veggen er plan slik at dybden av skapet er den samme overalt. Da varierer volumet bare med $A (x)$ , så når denne funksjonen har sin største verdi, vil også volumet av skapet være størst.

d) Hvor bredt og høyt er skapet når arealet av fronten er størst mulig?

Løsningsforslag

Her betyr det at vi ønsker å finne toppunktet til arealfunksjonen $A (x)$ . Vi tegner funksjonen i GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt".

Funksjonen A av x er lik 260 x minus 0,65 x i andre er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 300. Toppunktet B med koordinatene 200 og 26000 er tegnet inn. Skjermutklipp. — Funksjonen som viser arealet til skapfronten

Arealet av fronten er størst når bredden på skapet er 200 cm.
Høyden på skapet er da: $h = 260 - 0, 65 \cdot 200 = 130 cm .$

Oppgaven kan også løses ved å bruke CAS.

e) Kan du tenke deg noen løsninger som vil gi større skapplass?

Løsningsforslag

Her er det mange muligheter. Ett forslag er å dele opp skapet i to og la hver del gå så høyt som mulig. Da vil den høyre delen av skapet komme høyere enn resten.

f) Utfordring

Vi setter nå den laveste høyden under taket lik $s$ . Hva blir arealfunksjonen $A (x)$ nå?

Tips

Start med å finne en ny formel for høyden $h$ der lengden $H C$ nå blir $260 - s$ i stedet for $260 - 65$ .

g) Utfordring

Til nå har du sett at når den laveste høyden er 65 cm, ble det størst skap når bredden var 200 cm.

For hvilken verdi av $s$ får vi størst skapplass når vi bruker hele bredden på 300 cm til skap?

Tips

Bruk GeoGebra. Legg inn tallet $s$ som en glider og la glideren gå fra 0 til 260. Legg inn arealfunksjonen $A (x)$ fra forrige oppgave med glideren $s$ . Finn toppunktet til arealfunksjonen med GeoGebra. Observer hvordan toppunktet flytter seg når verdien for $s$ endres med glideren.

Hva betyr det i praksis når toppunktet til funksjonen har $x$ -koordinat som er større enn 300?

CC BY-SASkrevet av Tove Annette Holter.

Sist faglig oppdatert 20.04.2020

Modellering med andregradsfunksjoner

3.3.12

3.3.13

Regler for bruk