Takvinkler og tangens

Vi må huske å dele opp rommet slik at vi får en rettvinklet trekant som vi kan regne på. Her må vi tenke oss at vi deler rommet i to på midten slik at vi får to like, rettvinklede trekanter. Bredden av rommet i én av trekantene blir da 3,00 m. Trekantene har lik takhøyde. Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{Takhøyde}}{\mathrm{Rombredde}}& = & \tan 23°\end{array}$$

Det betyr at vi må multiplisere rombredden med$\tan 23°$for å regne ut takhøyden. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\mathrm{takhøyde}& = & \mathrm{rombredde}·\tan 23°\\ & & \\ & =& 3,00 \mathrm{m}·\tan 23°\\ & & \\ & =& 1,27 \mathrm{m}\end{array}$$

(Vi kan også løse dette som en likning hvis vi vil. Da setter vi takhøyden lik $x$.)

Rommet blir 1,27 m på det høyeste. Det er altfor lavt for et oppholdsrom.

Her er takvinkelen ukjent, så vi kaller den $x$. Vi får

$\begin{array}{rcl}\tan x& = & \frac{\mathrm{Takhøyde}}{\mathrm{Rombredde}}\\ & & \\ & =& \frac{2,40 \mathrm{m}}{3,00 \mathrm{m}}\\ & & \\ & =& 0,8\\ & & \\ x& =& 38,7°\end{array}$

Takvinkelen må være 39 grader.

Den største tillatte takvinkelen er 27 grader. Takhøyden er 2,40 m. Siden vi multipliserer med forholdstallet$\tan 27°$når vi regner ut takhøyder, må vi dele på dette tallet når vi skal regne ut rombredder. Vi får

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{Takhøyde}}{\mathrm{Rombredde}}& = & \tan 27°\\ & & \\ \mathrm{Rombredde}& =& \frac{\mathrm{Takhøyde}}{\tan 27°}\\ & & \\ & =& \frac{2,40 \mathrm{m}}{\tan 27°}\\ & & \\ & =& 4,71 \mathrm{m}\end{array}$

Vi må huske at dette bare er den halve bredden av rommet. Hele bredden på huset må altså minst være

$4,71 \mathrm{m}·2=9,42 \mathrm{m}$

Alternativ løsningsmetode: Vi løser det som en likning og setter den ukjente rombredden lik $x$. Vi får

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{Takhøyde}}{\mathrm{Rombredde}}& = & \tan 27°\\ & & \\ \frac{2,40}{x}& =& \tan 27°\\ & & \\ \cancel{x}·\frac{2,40}{\cancel{x}}& =& \tan 27°·x\\ & & \\ 2,40& =& \tan 27°·x\\ & & \\ \frac{2,40}{\tan 27°}& =& \frac{\cancel{\tan 27°}·x}{\cancel{\tan 27°}}\\ & & \\ 4,71& =& x\end{array}$

Hele bredden blir igjen det dobbelte av dette, altså 9,42 m.

Uten takløft er høyden under mønet 1,27 m. Hvis høyden under mønet skal være 2,00 m, må taket løftes

$2,00 \mathrm{m}-1,27 \mathrm{m}=0,73 \mathrm{m}=73 \mathrm{cm}$

Dette blir også høyden på veggene ytterst siden den i utgangspunktet var null.

Fra forrige oppgave har vi at ytterveggen er 73 cm høy. En knevegg som bygges en ukjent lengde $x$ cm fra ytterveggen, skal altså ha en høyde på 120 cm. Da øker vegghøyden fra 73 cm til 120 cm, altså blir det en høydeforskjell på $120 \mathrm{cm}-73 \mathrm{cm}=47 \mathrm{cm}$.

Denne høydeforskjellen er "takhøyden" i en liten trekant med samme "takvinkel" som huset og "rombredde" lik den ukjente lengden $x$. For å regne ut den ukjente "rombredden", må vi som tidligere dividere "takhøyden" på tangens til "takvinkelen". Vi får

$x=\frac{"\mathrm{Takhøyde}"}{\tan 23°}=\frac{47 \mathrm{cm}}{\tan 23°}=111 \mathrm{cm}$

Kneveggen må bygges 1,11 m fra ytterveggen. Når vi gjør det på begge sider, blir bredden av rommet

$6,00 \mathrm{m}-2·1,11 \mathrm{m}=3,78 \mathrm{m}$

Vi må dele rommet i to før vi regner på vinkelen. Da blir rombredden

$7,5 \mathrm{m}:2=3,75 \mathrm{m}$

Vi bruker definisjonen av tangens til en takvinkel $x$ og får

$\begin{array}{rcl}\tan x& = & \frac{\mathrm{Takhøyde}}{\mathrm{Rombredde}}\\ & & \\ & =& \frac{2,30 \mathrm{m}}{3,75 \mathrm{m}}\\ & & \\ & =& 0,613\\ & & \\ x& =& 32°\end{array}$

Her vet vi ikke høyden oppunder taket på det høyeste, men vi kan lage oss en trekant med samme "takvinkel" der "takhøyden" er 2,40 m. Vi kan regne ut "rombredden" i denne trekanten ved å ta den totale bredden av rommet, trekke fra området på midten der takhøyden var over 2,40 m og til slutt dele svaret på to. "Rombredden" blir

$\frac{6,00 \mathrm{m}-1,50 \mathrm{m}}{2}=2,25 \mathrm{m}$

Fra definisjonen av tangens til takvinkelen $x$ har vi videre at

$\begin{array}{rcl}\tan x& = & \frac{\mathrm{Takhøyde}}{\mathrm{Rombredde}}\\ & & \\ & =& \frac{2,40 \mathrm{m}}{2,25 \mathrm{m}}\\ & & \\ & =& 1,07\\ & & \\ x& =& 47°\end{array}$

Takvinkelen er 47 grader.

Hvis vi trekker ei linje fra toppen av den ene kneveggen til toppen av den andre, får vi en figur lik den i oppgave 2 a). Avstanden mellom kneveggene er 5 m. Høyden opp til mønet fra denne linja blir

$2,70 \mathrm{m}-1,20 \mathrm{m}=1,50 \mathrm{m}$

Vi må igjen dele gulvbredden i to for å få to rettvinklede trekanter. Hver rettvinklede trekant har da "takhøyde" lik 1,50 m og "rombredde" lik

$5 \mathrm{m}:2=2,5 \mathrm{m}$

Fra definisjonen av tangens til en takvinkel får vi

$\begin{array}{rcl}\tan x& = & \frac{\mathrm{Takhøyde}}{\mathrm{Rombredde}}\\ & & \\ & =& \frac{1,50 \mathrm{m}}{2,50 \mathrm{m}}\\ & & \\ & =& 0,6\\ & & \\ x& =& 31°\end{array}$

Takvinkelen er 31 grader.