Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler.
3.3.1
I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til funksjonen
og markert noen punkter på grafen.
a) Skriv ned koordinatene til punktene A, B, C og D.
Vis fasit
b) Regn ut .
Vis fasit
c) Forklar at koordinatene til punktene på grafen kan skrives som
Vis fasit
Når vi regner ut, finner vi funksjonsverdien for , det vil si punktet A på grafen. Et punkt vil derfor alltid ligge på grafen til for alle verdier for der funksjonen eksisterer.
3.3.2
Bestem hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur), og hvor de skjærer andreaksen, uten å tegne grafene.
a)
Vis fasit
Tallet for andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12.
b)
Vis fasit
Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4.
c)
Vis fasit
Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i .
d)
Vis fasit
Tallet foran andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0.
e) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.
Vis fasit
3.3.3
Funksjonen er gitt ved for verdier mellom og .
a) Tegn grafen til .
Vis fasit
b) Finn bunnpunktet på grafen til .
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Bunnpunktet er
c) Finn nullpunktene til .
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Nullpunktene er og .
d) Finn hvor grafen til skjærer -aksen. Hva kalles disse skjæringspunktene?
Vis fasit
Grafen skjærer -aksen for Skjæringspunktene kalles nullpunkter.
3.3.4
Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter sekunder er høyden meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen
a) Tegn grafen til for de første 3 sekundene.
Vis fasit
b) Når er ballen 10 meter over bakken?
Vis fasit
Vi tegner linja Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til h med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Se punktene D og E i løsningen til oppgave a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekunder og etter 2,1 sekunder.
c) Når treffer ballen bakken?
Vis fasit
Vi finner nullpunktet med verktøyet "Nullpunkt". Se punktet C i løsningen til oppgave a). Ballen treffer bakken etter 3 sekunder.
d) Når er ballen 15 meter over bakken?
Vis fasit
Vi ser av grafen i løsningen til oppgave a) at ballen aldri når denne høyden.
e) Hvor høyt når ballen, og når er ballen på sitt høyeste punkt?
Vis fasit
Vi finner toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Se punkt A i løsningen til oppgave a). Ballen når sitt høyeste punkt etter omtrent 1,4 sekunder og har da en høyde på 12 meter over bakken.
3.3.5
Gitt grafene nedenfor.
Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører graf A, graf B eller graf C. Prøv deg uten å tegne grafene. Obs: Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene.
Vis fasit
3.3.6
a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor, og finn ut ved regning
hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smileller sur )
hvilke av grafene som har toppunkt, og hvilke som har bunnpunkt
hvor grafene skjærer andreaksen
likningen for symmetrilinja til hver av grafene
koordinatene til topp- eller bunnpunktet til hver av grafene
verdimengden til funksjonene
nullpunktene til funksjonene
Vis fasit
Når og a>0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12 fordi konstantleddet c=12.
Symmetrilinja er x=-b2a=72.
Bunnpunktet har koordinatene 72,f72=72,-14.
f72=722-7·72+12=-14
Verdimengden blir da [-14,→〉.
For å finne nullpunktene løser vi likningen
fx=0x2-7x+12=0x=7±72-4·122=7±12x1=3x2=4
Nullpunktene er 3 og 4.
gx=-2x2+2x+4
Vis fasit
Når fx=ax2+bx+c og a<0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet c=4.
Når fx=ax2+bx+c og a<0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i -8 fordi konstantleddet c=-8.
Symmetrilinja er x=-b2a=0-2=0.
Toppunktet faller da sammen med skjæring med andreaksen: 0,-8
Verdimengden er ⟨←,-8].
Grafen til ligger h under x-aksen. Vf=⟨←,-8]. Funksjonen har derfor ingen nullpunkter.
ix=3x2+12x
Vis fasit
Når fx=ax2+bx+c og a>0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet c=0.
Symmetrilinja blir x=-b2a=-122·3=-2.
Bunnpunktet har koordinatene -2,i-2=-2,-12.
i-2=3·-22+12·-2=-12
Verdimengden blir da [-12,→〉.
For å finne nullpunktene løser vi likningen
ix=03x2+12x=03xx+4=0x1=-4x2=0
Nullpunktene er -4 og 0.
b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.
Vis fasit
3.3.7
Funksjonen f er gitt ved fx=x2+x-6 for x-verdier mellom -4 og 3.
a) Tegn grafen til f.
Vis fasit
b) Bestem bunnpunktet til grafen til f grafisk og ved regning.
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.
Vi ser av grafen at bunnpunktet er -0.5,-6.25.
Ved regning
Symmetrilinja blir x=-12·1=-0,5.
y-verdien blir da f-0,5=-0,52-0,5-6=-6,25.
Bunnpunktet blir -0,5,-6,25.
c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene.
Vis fasit
Grafen til f skjærer førsteaksen i -3,0 og 2,0.
Grafen til f skjærer andreaksen i 0,-6.
d) Bestem ved regning hvor grafen til f skjærer koordinataksene.
Vis fasit
Grafen skjærer andreaksen når x=0:
f0=-6
Skjæringspunktene er 0,-6.
Grafen skjærer andreaksen når y=0
fx=0x2+x-6=0x=-1±12-4·-62x=-3∨x=2
Grafen skjærer førsteaksen i punktene -3,0 og 2,0.
e) Hva er verdimengden til f?
Vis fasit
I denne oppgaven skulle vi velge x-verdier fra og med -4 til og med 3.
Definisjonsmengden Df til funksjonen blir dermed Df=-4,3.
Den laveste verdien til funksjonen f er -6,25. Vi ser grafisk at den høyeste verdien til funksjonen er 6.
Verdimengden Vf blir dermed Vf=-6.25,6.
3.3.8
Andreas kaster et spyd.
Grafen til funksjonen f gitt ved fx=-0,01x2+0,85x+2,20 beskriver banen spydet følger gjennom lufta.
Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvorfra Andreas kaster spydet, og fx meter er høyden spydet har over bakken.
a) Tegn grafen til f for x≥0.
Vis fasit
Vi tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn
fx=Funksjon(-0.01x2+0.85x+2.20,0,∞).
b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene.
Bestem toppunktet på grafen til f.
Vis fasit
Vi finner skjæringspunktene mellom aksene og grafen ved å bruke kommandoen "Skjæring mellom to objekt".
Grafen skjærer x-aksen for x=87,5 og y-aksen for y=2,2.
Vi finner toppunktet ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt".
Toppunktet er 42.5,20.3.
c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet?
Vis fasit
Andreas kaster ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 20 meter, og lengden på kastet er 87,5 meter.