Det finnes mange praktiske bruksområder for integraler, så det å kunne integrere funksjoner er like viktig som å kunne derivere funksjoner. Her skal vi gå gjennom de grunnleggende integrasjonsreglene.
Det finnes integrasjonsregler som tilsvarer derivasjonsreglene. Selv om integrasjon ofte blir utført med digitale verktøy, er det viktig å kunne integrasjonsreglene, både for ubestemte og bestemte integraler.
Husk at integrasjonsreglene for ubestemte integraler kan bevises ved å derivere høyre side.
Integrasjon av en konstant
Eksempler
Hvordan kan integrasjonsregelen for en konstant begrunnes i det vi har sett tidligere om at resultatet av integrasjon av et polynom er en grad høyere enn funksjonen vi tok utgangspunkt i?
Forklaring
Hvis vi omskriver integrasjonen i eksempelet ved å multiplisere konstanten med en potens der er grunntall og eksponenten er 0 (husk at ), vil vi se at resultatet av denne denne integrasjonen også er en grad høyere enn polynomfunksjonen som vi startet med.
Integrasjon av sum, differanse og produkt
Dersom uttrykket som skal integreres, består av flere funksjoner, enten i form av summer, differanser eller produkter, gjelder følgende:
Integrasjon av potensfunksjoner
Eksempler
Legg merke til at denne regelen ikke gjelder for . Vi skal straks komme tilbake til hvordan vi skal utføre integrasjonen i dette spesielle tilfellet, men hvorfor vil det være umulig å bruke denne regelen når ?
Forklaring
Hvis , vil vi få 0 som nevner i løsningen, noe som medfører at vi ikke får noen løsning hvis vi følger integrasjonsregelen for potensfunksjoner. Som vist nedenfor er det er likevel mulig å integrere .
Integrasjon av potenser med brøkeksponenter
Regelen for integrasjon av potensfunksjoner kan brukes på potenser med brøkeksponenter. Dette gjør at vi også kan bruke samme integrasjonsregel for rotuttrykk. Hva er sammenhengen mellom et rotuttrykk og en potens med brøkeksponent?
Svar
Bruk reglene for integrasjon av potensfunksjoner til å bestemme .
Løsning
Integrasjon av
Vi får som forklart over en spesiell situasjon når i integralet , det vil si hvis vi skal utføre integrasjonen . For å finne en antiderivert i dette tilfellet kan vi bruke potensreglene og skrive om integranden: .
Tenk tilbake til det du lærte om derivasjon i S1. Hvilken funksjon gir som resultat etter derivasjon?
Fra definisjonen av den naturlige logaritmen har vi at ethvert positivt tall kan skrives som opphøyd i logaritmen til .
Når to funksjoner er like, er den deriverte av hver av funksjonene også like. Vi deriverer venstre og høyre side hver for seg.
Venstre side:
Høyre side:
Da har vi
Ut fra det vi har lært om derivasjon, kommer vi med følgende påstand: Når , gjelder
Hvorfor skriver vi at må være større enn her?
Forklaring
Vi har derivert funksjonen , og denne funksjonen er bare definert for positive tall.
Vi skal nå se at det også er mulig å utføre integrasjonen når . Funksjonen er ikke definert for , altså eksisterer ikke integralet i dette punktet.
Funksjonen er definert for alle verdier av forskjellig fra null siden absoluttverdien av et negativt tall er lik et positivt tall med den samme tallverdien.
Her ser du grafen til funksjonen .
Ut fra definisjonen av absoluttverdi har vi at , og grafen vil derfor speiles om -aksen.
Vi har tegnet tangenter til grafen for og for .
Stigningstallet til tangenten i et punkt er lik den deriverte i punktet.
Stigningstallet til tangenten når , er lik . Det betyr at .
Stigningstallet til tangenten når , er lik . Det betyr at .
Det kan vises at det alltid gjelder at .
Prøv selv
Bruk GeoGebra. Tegn grafen , lag et punkt på grafen, og tegn tangenten til grafen i punktet. Du kan så dra punktet langs grafen og finne stigningstallet til de ulike tangentene.
Definisjonen av et ubestemt integral gir ut fra dette følgende integrasjonsregel:
Integrasjon av eksponentialfunksjoner
Fra derivasjonsreglene husker vi at den deriverte av er . Det betyr at det samme gjelder for den integrerte, men den integrerte får som polynomfunksjonene en konstant i tillegg.
Hvordan deriverer vi en funksjon av type ?
Svar
Vi deriverer en slik funksjon ved å multiplisere med den deriverte av eksponenten:
Dersom vi har en funksjon av type , får vi følgende integrasjonsregel:
En generell utgave av eksponentialfunksjonen er at grunntallet kan være et vilkårlig tall, det vil si noe annet enn . Da vil integrasjonen i tillegg gi en brøk med i nevneren.
Vis ved derivasjon at denne regelen stemmer.
Tips
Skriv først om til . kan deretter omskrives til . Deriver så ved hjelp av kjerneregelen.
Bevis
Vi har med dette vist at . Siden er en tallverdi, kan vi omforme slik:
Eksempler
Prøv selv
Bruk GeoGebra. Tegn grafen, lag et punkt på grafen, og tegn tangenten til grafen i punktet. Du kan dra punktet langs grafen og finne stigningstallet til de ulike tangentene.
