Her får du øve deg på å forklare hvorfor to størrelser er omvendt proporsjonale. Oppgavene nedenfor kan løses med digitale hjelpemidler. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.
Oppgave 1
Klassen din har ansvaret for å rydde på uteområdet på skolen.
Vil tida det tar å rydde, være omvendt proporsjonal med antall elever som rydder? Begrunn.
Løsning
Jo flere som rydder, jo kortere tid tar det. Tar det for eksempel 2 timer for en elev å rydde alt, vil det ta 1 time dersom det er 2 elever som rydder. Videre vil dette ta 0,5 time dersom det er 4 elever som rydder og så videre. Multipliserer vi antall elever med hvor lang tid den enkelte eleven bruker, får vi alltid 2 timer. (Vi forutsetter at alle elevene rydder like godt.)
Tida det tar å rydde, vil derfor være omvendt proporsjonal med antallet elever som rydder.
Oppgave 2
Du skal ha en vennegjeng på besøk og har kjøpt inn tre pizzaer. Dere deler pizzaene i like stykker og fordeler dem likt mellom dere.
Forklar at antall stykker pizza hver av dere får, er omvendt proporsjonalt med antall personer som skal spise.
Løsning
Antall pizzastykker per person multiplisert med antall personer vil alltid bli antall delstykker i tre pizzaer, med andre ord tre hele pizzaer. Produktet blir altså alltid det samme.
Oppgave 3
Elisabeth skal arrangere klassefest. Hun ønsker å leie et lokale til 2 000 kroner. Utgiftene til leie skal fordeles likt på festdeltakerne.
a) Nedenfor er det lagd en tabell som blant annet viser hva prisen per deltaker blir med forskjellig antall deltakere.
Fyll ut resten av tabellen.
Antall festdeltakere og pris per deltaker
Antall festdeltakere
5
8
13
16
20
Pris per deltaker (kr)
400
Antall deltakere · pris per deltaker (kr)
2 000
Løsning
Antall festdeltakere og pris per deltaker
Antall festdeltakere
5
8
13
16
20
Pris per deltaker (kr)
400
250
154
125
100
Antall deltakere · pris per deltaker (kr)
2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
b) Forklar hvorfor prisen og antall festdeltakere er omvendt proporsjonale størrelser.
Løsning
Antall deltakere multiplisert med pris per deltaker er konstant. Da er størrelsene omvendt proporsjonale. Vi ser også at dersom antallet deltakere dobles fra 8 til 16, halveres prisen per deltaker.
c) Hva er proporsjonalitetskonstanten her?
Løsning
Proporsjonalitetskonstanten er 2 000.
Oppgave 4
Stian skal kjøre en strekning på 40 km. Tida han bruker på å kjøre denne strekningen, vil variere avhengig av hvor fort han kjører i gjennomsnitt. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom gjennomsnittsfarten han har hatt på kjøreturen, og tida han har brukt.
a) Hva har gjennomsnittsfarten vært dersom han bruker 0,5 time på 40 km?
Løsning
Grafen viser at gjennomsnittsfarten da har vært 80 km/h.
Merk at vi bruker h (engelsk: "hour") som måleenhet for antall timer.
b) Fyll ut resten av tabellen nedenfor ved å lese av samhørende verdier for fart og tid.
Fart og tid
v, fart (km/h)
100
80
70
60
40
t, tid (h)
0,5
Løsning
Fart og tid
v, fart (km/h)
100
80
70
60
40
t, tid (h)
0,4
0,5
0,57
0,67
1,0
Tidene når gjennomsnittsfarten er 70 km/h og 60 km/h er litt usikre siden rutenettet i den grafiske framstillinga er ganske grovt.
c) Hvilke av størrelsene fart, tid eller strekning er det som eventuelt kan være omvendt proporsjonale størrelser?
Løsning
Strekningen er fast på 40 km, så det må være farten og tida som eventuelt kan være omvendt proporsjonale størrelser.
d) Undersøk om farten og tida er omvendt proporsjonale størrelser.
Tips til oppgaven
Utvid tabellen fra oppgave b) med en rad der du multipliserer fart og tid.
Løsning
Fart og tid
v, fart (km/h)
100
80
70
60
40
t, tid (h)
0,4
0,5
0,57
0,67
1,0
v · t (km)
40
40
40
40
40
Produktet er konstant lik 40. Farten og tida er omvendt proporsjonale størrelser.
e) Hva er sammenhengen mellom formelen og det du gjorde i den forrige oppgaven?
Løsning
Formelen s=v·t er sammenhengen mellom strekning, fart og tid når farten er konstant. I nederste rad i tabellen er produktet v·t regnet ut for alle tallene. Da får vi strekningen som skulle kjøres: 40 km. Dette stemmer med formelen.
f) Finn ved regning hvor mange minutter det tar å kjøre 40 km dersom farten er 65 km/h.
Løsning
s=v·t40=65·t4065=65·t65t=0,615
Vi gjør om til minutter: 0,615h·60min/h≈37min
Det tar omtrent 37 minutter å kjøre 40 km med en fart på 65 km/h.
Oppgave 5
Camilla har kjøpt en pose med klinkekuler. I posen er det 72 klinkekuler. Hun ønsker å dele klinkekulene likt mellom seg og vennene sine.
a) Hvor mange klinkekuler blir det på hver dersom hun deler med 5 venner?
Løsning
Kulene skal deles mellom 6 personer. Antallet kuler på hver blir
726=12
b) Lag en formel for hvor mange klinkekuler N det blir på hver dersom de er x personer som skal dele kulene likt mellom seg.
Løsning
Vi gjør det samme som i oppgave a) og får
N=72x
c) Er N og x omvendt proporsjonale størrelser?
Tips til oppgaven
Denne oppgaven kan løses på flere måter. Du kan lage en tabell slik som i de andre oppgavene på denne siden, men det enkleste er å regne med formelen direkte.
Løsning
For å undersøke om N og x er omvendt proporsjonale størrelser, må vi sjekke om produktet av dem er konstant. Dette gjør vi enklest på denne måten:
N·x=72x·x=72x·x=72
Her har vi brukt at N=72x i den første overgangen. Vi kan forkorte bort x, og resultatet blir (det konstante) tallet 72. Da får vi at N og x er omvendt proporsjonale størrelser.
Generelt vil det være slik at når formelen er av typen y=kx der k er konstant, vil alltid x og y være omvendt proporsjonale størrelser.
d) Er antallet venner v Camilla deler med, og hvor mange kuler k hver av dem får, omvendt proporsjonale størrelser? Undersøk dette ved å lage en tabell slik som i noen av de forrige oppgavene.
Løsning
Her må vi huske på at klinkekulene skal deles med én mer enn antall venner. Dersom antall venner er 2, blir antall klinkekuler på hver
722+1=723=24
Antall venner og antall kuler per person
v, antall venner
2
3
5
7
k, antall kuler per person
24
18
12
9
v·k
48
54
60
63
Produktet av størrelsene antall venner v og antall kuler k per person er ikke konstant. Størrelsene er derfor ikke omvendt proporsjonale.
e) Undersøk det samme som i oppgave d) ved å lage en formel for k når kulene skal deles med v venner og bruke den.
Løsning
Først lager vi en formel for k.
k=72v+1
Så må vi sjekke produktet av k og v.
k·v=72v+1·v=72vv+1
Vi får ikke forkortet bort v. Produktet vil derfor variere med verdien av v og er derfor ikke konstant. Størrelsene er derfor ikke omvendt proporsjonale.
Oppgave 6
Hva kan du om proporsjonalitet?
Nedlastbare filer
Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.