Proporsjonalitet

Først regner vi ut hva prisen blir for de ulike mengdene smågodt. For for eksempel 2 hg smågodt betaler vi

$$ 2 \mathrm{hg}·9,90 \mathrm{kr}/\mathrm{hg}=19,80 \mathrm{kr}$$

Vi regner ut forholdet mellom prisen på smågodtet og mengden ved å dividere (dele). Når mengden smågodt er 2 hg, får vi

$$ \frac{19,80 \mathrm{kr}}{2 \mathrm{hg}}=9,90 \mathrm{kr}/\mathrm{hg}$$

Nedenfor er tabellen ferdig utfylt.

Mengden smågodt og prisen er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom størrelsene alltid er det samme.

$$ \frac{\mathrm{pris}}{\mathrm{mengde} \mathrm{smågodt}}=9,90$$

Vi ser også av tabellen i løsningen i a) at dersom vi dobler mengden smågodt, blir prisen doblet.

Proporsjonalitetskonstanten er 9,90 kr/hg, prisen per hektogram smågodt.

Omkretsen og diameteren er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel er konstant.

Forholdstallet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel er pi $\left(\pi \approx 3,14\right)$. Dette blir også proporsjonalitetskonstanten.

Antall SMS-er og prisen er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom pris per SMS og tallet på SMS-er er konstant. Se tabellen i a).

Vi må multiplisere (gange) antall SMS-er $$ x$$ med prisen per SMS, 0,49:

$P=0,49·x$

Proporsjonalitetskonstanten er 0,49 kroner per SMS.

Vi starter på $$ y$$-aksen der verdien er 750 kroner, går til høyre til vi treffer på linja, og går loddrett ned til vi treffer $$ x$$-aksen. Se pilene på figuren nedenfor.

Siri har jobbet i cirka 5 timer når hun har tjent 750 kroner.

Ved å gjøre som i oppgave a) får vi at Siri har jobbet i cirka 10 timer når hun har tjent 1 500 kroner.

Her gjør vi det motsatte av hva vi har gjort i de to forrige oppgavene. Vi starter i 20 på $$ x$$-aksen, går loddrett oppover til vi treffer linja, og går deretter vannrett til venstre til vi treffer $$ y$$-aksen. Se figuren nedenfor.

Vi får at Siri har tjent 3 000 kroner når hun har arbeidet 20 timer.

Vi setter opp en tabell på tilsvarende måte som i de forrige oppgavene og regner ut forholdet mellom lønna og antall timer. For eksempel blir forholdet mellom lønna og antall timer når hun jobber 5 timer

$$ \frac{750 \mathrm{kr}}{5 \mathrm{timer}}=150 \mathrm{kr}/\mathrm{time}$$

Timelønna til Siri er fast og lik 150 kroner per time.

Forholdet mellom lønna og antall timer er konstant. Da er størrelsene lønn og antall timer proporsjonale størrelser. Vi kan også se det av grafen i oppgaven siden grafen er ei rett linje gjennom origo.

Proporsjonalitetskonstanten er 150 kr/time, altså prisen per arbeidstime eller timelønna.

Du kan gå fram på tre måter:

1. Du kan lage en tabell med noen samhørende verdier for antall leieminutter og prisen for leia. Lag en tredje kolonne og regn ut forholdet mellom leiepris og antall leieminutter.

2. Du kan lage en formel for leieprisen $$ y$$ når du leier sykkelen i $$ x$$ minutter. Tegn grafen til denne formelen (funksjonen) i GeoGebra, og studer formen på grafen.

3. Du kan bruke formelen direkte til å sjekke om forholdet mellom leiepris og antall leieminutter er konstant.

Metode 1

Vi regner ut prisen ved å multiplisere antall minutter leietid med prisen per minutt og legger til oppstartsprisen. Hvis vi for eksempel leier sykkelen i 5 minutter, blir prisen

$$ 5 \min ·3 \mathrm{kr}/\min +10 \mathrm{kr}=25 \mathrm{kr}$$

Vi ser at forholdet ikke er konstant. Da er ikke leietida og leieprisen proporsjonale størrelser.

Metode 2

Dersom vi leier sykkelen i $$ x$$ minutter, blir formelen for leieprisen $$ y$$

$$ y=x·3+10$$

etter utregninga i metode 1. Vi skriver dette uttrykket rett inn i algebrafeltet i GeoGebra. Resultatet blir som på figuren nedenfor.

Vi får ei rett linje som ikke går gjennom origo. Da er ikke leietida og leieprisen proporsjonale størrelser.

Metode 3

I metode 1 regnet vi ut forholdet mellom samhørende verdier for leieprisen $$ y$$ og leietida $$ x$$. Vi kan gjøre dette direkte med formelen.

$$ \frac{y}{x}=\frac{3x+10}{x}=\frac{3x}{x}+\frac{10}{x}=3+\frac{10}{x}$$

I den første overgangen har vi erstattet $$ y$$ med $$ 3x+10$$. Resultatet av utregninga er et uttrykk der $$ x$$ inngår. Forholdet er dermed ikke konstant, og størrelsene leietid og leiepris er ikke proporsjonale størrelser.

Nei. Vi kan blant annet se at kvadratmetertallet ikke øker til det dobbelte når tallet på korsangere dobler seg fra 14 til 28.

Svaret over er nok. Alternativt kan vi utvide tabellen i løsningen i a) med en ny rad og regne ut forholdet mellom antall kvadratmeter og antall personer tilsvarende det som er gjort i oppgavene over, og vi vil få ulike svar.

Forholdet er ikke konstant, og antall personer og antall kvadratmeter er ikke proporsjonale størrelser.

Vi kan gjøre som i den forrige oppgaven og vise at antall kvadratmeter ikke dobler seg når antallet sangere dobler seg. Vi får direkte fra tabellen at når antallet korsangere dobles fra 15 til 30, blir antallet kvadratmeter litt mindre enn doblet.

Det er kravet om buffer som gjør at størrelsene ikke er proporsjonale. Bufferen er et tillegg som selv om det varierer litt, er fast for flere ulike antall kormedlemmer. For eksempel er det det samme både for 10 og 15 kormedlemmer. Dersom kravet om buffer tas bort, vil størrelsene være proporsjonale fordi det vil være et fast antall kvadratmeter per korutøver.