Avgjør i hvert tilfelle om implikasjonen er riktig.
a) Vi har et kvadrat. Vi har en firkant.
Vis fasit
Riktig (et kvadrat er alltid en firkant).
b) Vi har en firkant. Vi har et kvadrat.
Vis fasit
Feil. For at det skal være et kvadrat, må alle sidene være like lange, og vinklene må være 90 grader.
c) Vi har et kvadrat. Vi har en rombe.
Vis fasit
Riktig. I en rombe er kravet at alle sidene skal være like lange. Størrelsen på vinklene betyr ikke noe. Det vil si at et kvadrat også er en rombe.
d) Vi har et kvadrat. Vi har et rektangel.
Vis fasit
Riktig. I et rektangel er kravet at to og to sider skal være like lange og vinklene skal være 90 grader. Det vil si at et kvadrat også er et rektangel.
e) Vi har en rettvinklet trekant. Ingen av hjørnene har en vinkel større enn 90 grader.
Vis fasit
Riktig. Summen av vinklene i en trekant er 180 grader.
Når den ene vinkelen er 90 grader, må summen av de to andre være lik 90 grader, og hver av dem må være mindre enn 90 grader.
Avgjør i hvert tilfelle om ekvivalensen er riktig.
a) Vi har en rombe. Vi har et kvadrat.
Vis fasit
Feil. Vinklene i et kvadrat må være 90 grader.
b) Det regner i Norge. Det regner i Bergen.
Vis fasit
Feil. Det kan regne i Norge uten at det regner i Bergen.
c) Det er et furutre. Det er furunåler på grenene.
Vis fasit
Riktig.
d)
Vis fasit
Riktig.
e)
Vis fasit
Riktig.
f)
Vis fasit
Feil. kan også ha løsningen .
Før et direkte bevis for denne påstanden: Summen av to påfølgende oddetall er delelig med 4.
Hint
Et oddetall kan skrives som . Finn et uttrykk for neste oddetall, og summer disse to oddetallene.
Vis fasit
Bevis:
Et tilfeldig oddetall kan skrives som derer et helt tall.
Det påfølgende oddetall må da ha en verdi som er 2 større, altså.
Summen av disse tallene blir da
Siden 4 er faktor i summen, må summen av tallene kunne deles med 4. Q.e.d.
(Q.e.d. er en forkortelse for det latinske uttrykket "quod erat demonstrandum", som betyr "hvilket skulle bevises".)
Før et direkte bevis for denne påstanden: Summen av fire påfølgende partall er delelig med 4.
Vis fasit
Bevis:
Et tilfeldig partall kan skrives som der er et helt tall. Det påfølgende partallet må da ha en verdi som er 2 større, altså.
Det neste blir , og det fjerde påfølgende partallet blir .
Summen av disse tallene blir da
Siden 4 er faktor i summen, må summen av tallene kunne deles med 4.
Q.e.d.
Før et direkte bevis for denne påstanden: Summen av to rasjonale tall er et rasjonalt tall.
(Rasjonale tall er tall som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er hele tall.)
Vis fasit
Bevis:
Et tilfeldig rasjonalt tall kan skrives somder og er hele tall.
Et annet tilfeldig rasjonalt tall kan skrives somder og er hele tall.
Summen av disse tallene kan vi skrive som
Når vi multipliserer to hele tall med hverandre, får vi et nytt helt tall. Når vi adderer to hele tall med hverandre, får vi et nytt helt tall. Dette må bety at både telleren og nevneren i den nye brøken blir hele tall. Summen av de to rasjonale tallene blir dermed et rasjonalt tall.
Før et direkte bevis for denne påstanden: Hvis et oddetall, så er delelig med 4.
Vis fasit
Bevis:
Tallet 4 er dermed en faktor i n2-1, og følgelig er n2-1 delelig med 4.
Før et direkte bevis for påstanden: Produktet av to påfølgende tall er et partall.
Vis fasit
Bevis:
Anta at det første tallet er et partall. Et tilfeldig partall kan skrives som 2k der k er et helt tall. Det påfølgende tallet blir da 2k+1 .
Produktet blir 2k2k+1 = 4k2+2k = 22k2+k.
2 er en faktor i produktet, og følgelig er produktet et partall.
Hvis det første tallet er et oddetall, kan det skrives som 2k+1 der k er et helt tall. Det påfølgende tallet blir 2k+2 .
Produktet blir 2k+12k+2 = 4k2+6k+2 = 22k2+3k+1.
2 er en faktor i produktet, og følgelig er også her produktet et partall.
Løs likningene. Sett prøve på svarene.
a) 3-x = 1
Vis fasit
3-x = 1⇓3-x = 1⇕x = 2
Vi setter prøve på svaret:
Venstre side: 3-x =3-2 = 1 = 1
Høyre side: 1
x = 2 er en løsning av likningen.
b) 3x-2 = 4
Vis fasit
3x-2 = 4⇓3x-2 = 16⇕x = 6
Vi setter prøve på svaret:
Venstre side: 3x-2 =3·6-2 = 16 = 4
Høyre side: 4
x = 6 er en løsning av likningen.
c) -2 = x-1
Vis fasit
-2 = x-1⇓4 = x-1⇕x = 5
Vi setter prøve på svaret:
Venstre side: -2
Høyre side: 5-1 = 4 = 2
x = 5 er ikke en løsning av likningen.
(Kommentar: Går det an å se direkte at likningen ikke har løsning?)
Løs likningene. Sett prøve på svarene.
a) x-2 = x-2
Vis fasit
x-2 = x-2 ⇓x2-4x+4 = x-2x2-5 x+6 = 0 x = 2 ∨ x = 3
Vi setter prøve på svaret x = 2.
Venstre side: 2-2 = 0
Høyre side: 2-2 = 0
x = 2 er en løsning av likningen.
Vi setter prøve på svaret x = 3.
Venstre side: 3-2 = 1
Høyre side: 3-2 = 1
x = 3 er også en løsning av likningen.
b) 2x+4+x = 2
Vis fasit
2x+4+x = 2 2x+4 = 2-x⇓2x+4 = 4-4x+x2x2-6 x = 0 xx-6 = 0x = 0 ∨ x = 6
Vi setter prøve på svaret x = 0.
Venstre side: 2·0+4+0 =2
Høyre side: 2
x = 0 er en løsning av likningen.
Vi setter prøve på svaret x = 6.
Venstre side: 2·6+4+6 = 16+6 = 10
Høyre side: 2
x = 6 er ikke en løsning av likningen.
c) x+4-4x = 2
Vis fasit
x+4-4x = 2 4-4x = 2-x⇓4-4x = 4-4x+x2x2 = 0x = 0
Vi setter prøve på svaret x = 0.
Venstre side: 0+4-4·0 = 2
Høyre side: 2
x = 0 er en løsning av likningen.
d) 4x+4- x = -2
Vis fasit
4x+4- x = -2 4x+4 = x-2 ⇓4x+4 = x2-4x+4x2-8x = 0xx-8 = 0x = 0 ∨ x = 8
Vi setter prøve på svaret x = 0.
Venstre side: 4·0+4- 0 = 2
Høyre side: -2
x = 0 er ikke en løsning av likningen.
Vi setter prøve på svaret x = 8.
Venstre side: 4·8+4- 8 = 6-8 = -2
Høyre side: -2
x = 8 er en løsning av likningen.
Formuler den kontrapositive påstanden til følgende påstand: Det er feil å si at jeg ikke bestod eksamen.
Vis fasit
Kontrapositiv påstand: Det er riktig å si at jeg bestod eksamen.
Formuler den kontrapositive påstanden til følgende påstand: De som ikke liker å se en fotballkamp, har ikke selv spilt fotball.
Vis fasit
Kontrapositiv påstand: De som har spilt fotball selv, liker å se en fotballkamp.
a) Før et kontrapositivt bevis for påstanden:
n2 er et oddetall. ⇒ n er et oddetall.
Vis fasit
Bevis:
Den kontrapositive påstanden blir:
n er ikke et oddetall ⇒ n2 er ikke et oddetall⇕ n er et partall ⇒ n2 er et partall
Vi setter n = 2t t∈ℤ.
Da er n2 = 4t2 = 2·2t2 som må være et partall.
Da er den kontrapositive påstanden bevist og dermed er den opprinnelige påstanden bevist.
b) Før et direkte bevis for påstanden:
n er et oddetall. ⇒ n2 er et oddetall.
Vis fasit
Bevis:
n er et oddetall.⇓ n = 2t+1 t∈ℤ⇓n2 = 2t+12⇓n2 = 4t2+4t+1⇓n2 = 4t2+t+1
Siden 4 er en faktor i 4t2+t, er dette leddet et partall.
Følgelig er n2 = 4t2+1+1 et oddetall.
Før bevis for påstanden:
n2 er et partall. ⇔ n er et partall.
Vis fasit
Bevis:
Vi fører først et direkte bevis for påstanden n er et partall. ⇒ n2 er et partall.
Anta at n er et partall. Vi kan da skrive
n = 2t t∈ℤ ⇓n2 = 2t2 = 4t2 =2·2t2 ⇒ n2 er et partall. Q.e.d.
Vi fører så et kontrapositivt bevis for påstanden:
n2 er et partall. ⇒ n er et partall.
Kontrapositiv påstand:
n er et oddetall. ⇒ n2 er et oddetall.
Anta at n er et oddetall. Da kan vi sette n = 2t+1, t∈ℤ.
n = 2t+1 , t∈ℤ⇓n2 = 2t+12= 4t2+4t+1= 22t2+2t+1= 2k+1 , k∈ℤ
Dermed blir n2 et oddetall.
Q.e.d.
Påstand: Alle firkanter er rektangler.
Bevis med moteksempel at denne påstanden ikke er riktig.
Vis fasit
Bevis:
En rombe er en firkant som ikke er et rektangel.
Påstanden er ikke riktig.
NB: Vi kan motbevise en påstand med et eksempel, men vi kan aldri bevise en påstand med et eksempel (ikke med to eller flere eksempler heller).
Påstand: x2 > 25 ⇒ x > 5
Bevis med moteksempel at denne påstanden ikke er riktig.
Vis fasit
-62 = 36 > 25 og -6 < 5
Påstanden er ikke riktig.
Vis med moteksempler at påstandene ikke er riktige.
a) x < y ⇒ x2 < y2
Vis fasit
x = -3 , y = -2 ⇒ x < y x2 = -32 = 9 y2 = -22 = 4 ⇒x2 > y2
Påstanden kan ikke være riktig.
b) x2 < y2 ⇒ x < y
Vis fasit
x2 = 4 , y2 = 9 ⇒ x2 < y2 x = 2 y = -3⇒x > y
Påstanden kan ikke være riktig.
c) x2 = y2 ⇒ x = y
Vis fasit
x2 = 4 , y2 = 4 ⇒ x2 = y2 x = 2 y =-2 ⇒x2 = y2, men x ≠ y
Påstanden kan ikke være riktig.
Nå følger et direkte bevis for at 3 = 5. Kan dette være riktig?
-15 = -15⇓9-24 = 25-40⇓9-24+16 = 25-40+16⇓3-42 = 5-42⇓3-4 = 5-4⇓3 = 5-4+4⇓3 = 5
Vis fasit
Dette må du bare finne ut av selv!
Ta en vanlig kortstokk. Be vennen din ta ut 13 tilfeldige kort. Be ham snu de 13 kortene med billedsiden opp og legge dem inn igjen i kortstokken på tilfeldige steder.
Be så vennen din om å ta av de 13 øverste kortene slik at det blir to bunker med kort. Be vennen din om å legge de to bunkene under et tørkle slik at han ikke kan se hva du gjør med dem.
Når tørkleet fjernes, ligger det fortsatt to bunker der. Du ber vennen din om å telle kortene med billedsiden opp i de to bunkene. Han vil oppdage at det ligger like mange kort med billedsiden opp i de to bunkene.
Hva gjør du under tørkleet?
Hvis du lurer på om dette er riktig, kan du be læreren din om å utføre kortkunsten.
Vis fasit
Dette må du finne ut av selv!