Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Logaritmesetningene. Forenkling av logaritmeuttrykk

Ved å bruke tre logaritmesetninger kan vi forenkle mange uttrykk og løse likninger og ulikheter som vi til nå ikke har kunnet løse uten digitale hjelpemidler.

De tre logaritmesetningene

For  a, b>0  gjelder

Første logaritmesetning

lga·b=lga+lgb

Andre logaritmesetning

lgab=lga-lgb

Tredje logaritmesetning

lgax=xlga

Utledning av første logaritmesetning

Definisjonen av logaritmer gir at a=10lga, b=10lgb og a·b=10lga·b.

Reglene for potensregning gir videre at a·b=10lga·10lgb=10lga+lgb.

Vi har da to uttrykk for a·b, og disse uttrykkene må være like.

10lga·b=10lga+lgb

To like potenser med samme grunntall må ha like eksponenter.

Det betyr at lga·b=lga+lgb.

Utledning av andre logaritmesetning

Definisjonen på logaritmer gir at a=10lga, b=10lgb og ab=10lgab.

Reglene for potensregning gir videre at ab=10lga10lgb=10lga-lgb.

Vi har da to uttrykk for ab, og disse uttrykkene må være like.

10lgab=10lga-lgb

To like potenser med samme grunntall må ha like eksponenter.

Det betyr at lgab=lga-lgb .

Utledning av tredje logaritmesetning

Definisjonen på logaritmer gir oss to skrivemåter for ax

ax=10lgax   og    ax=10lgax

Reglene for potensregning gir videre at

10lgax=10lga·x=10x·lga

Vi har da to uttrykk for ax , og disse to uttrykkene må være like.

10lgax=10x·lga

To like potenser med samme grunntall må ha like eksponenter.

Det betyr at lgax=x·lga .

Forenkling av logaritmeuttrykk

Vi viser bare hvordan vi forenkler uttrykk med briggske logaritmer, men regningen blir den samme om lg er erstattet med ln.

Eksempel 1

Vi ønsker å skrive uttrykket

lgx+lgx2

så enkelt som mulig. Siden logaritmer bare er definert for positive tall, må vi her forutsette at x er større enn null selv om x kan være negativ i uttrykket lgx2.

Vi kan skrive om uttrykket lgx2 ved hjelp av logaritmesetningen lgax=xlga. Da får vi

lgx+lgx2=lgx+2lgx=3lgx

Eksempel 2

Vi ønsker å skrive uttrykket

lg4x+4lg2x-lgx3+2lgx

så enkelt som mulig. Siden logaritmer bare er definert for positive tall, må vi her forutsette at x er større enn null.

lg4x+4lg2x - lgx3+2lgx=lg4+lgx+4lg2-lgx-3lgx+2lgx12                                     =lg22+lgx+4lg2-4lgx-3lgx+2lgx12                                     =2lg2+lgx+4lg2-4lgx-3lgx+lgx                                     =6lg2-5lgx

Her har vi altså brukt at x=x12, og vi har trukket sammen ledd med lg2 og ledd med lgx .

Video om logaritmesetningene

Video: //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Video om forenkling av logaritmeuttrykk

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0
CC BY-SA 4.0Dán lea/leat čállán Olav Kristensen, Stein Aanensen ja Bjarne Skurdal.
Maŋemusat ođastuvvon 2022-08-18