Bruk regnereglene for logaritmer til å forenkle eller omskrive følgende uttrykk når og x er større enn null.
a) lg3a+lga3
b) lg3a+lga3-3lga3
c) ln8b-ln4b-ln2+lnb
d) lga3b
e) lg(a3·b4)+lga2b3-lgb
f) ln2x-ln2x
g) lg(x2·x23)+lg1x3
Løsning
a) lg3a+lga3=lg3+lga+lga-lg3=2lga
b)
lg3a+lga3-3lga3= lg3+lga+lga-lg3-3lga13= lg3+lga+lga-lg3-3(13lga)= lg3+2lga-lg3-lga=lga
c)
ln8b-ln4b-ln2+lnb= ln8+lnb-(ln4+lnb)-ln2+lnb= ln23+lnb-ln22-lnb-ln2+lnb= 3ln2+lnb-2ln2-lnb-ln2+lnb= lnb
d)
lga3b= lga3-lgb= 3lga-lgb
e)
lg(a3·b4)+lga2b3-lgb= lga3+lgb4+lga2-lgb3-lgb= 3lga+4lgb+2lga-3lgb-lgb= 5lga
f)
ln2x-ln2x= ln2+lnx-(ln2-lnx)= ln2+lnx-ln2+lnx= 2lnx
g)
lg(x2·x23)+lg1x3= lgx2+lgx23+lg1-lgx3= 2lgx+lgx23+lg1-lgx13= 2lgx+23lgx+lg1-13lgx= 73lgx+0= 73lgx
Gjengi de tre logaritmesetningene ved å bruke så mange fagbegreper som mulig, for eksempel sum, produkt, faktor og potens.
a) lg(a·b)=lga+lgb
Løsning
Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmen til hver av faktorene.
b) lg(ab)=lga-lgb
Løsning
Logaritmen til en brøk er lik differansen mellom logaritmen til telleren og logaritmen til nevneren.
c) lgax=x·lga
Løsning
Logaritmen til en potens er lik produktet av eksponenten og logaritmen til grunntallet.
a) Prøv å utlede første logaritmesetning ved å bruke potenser.
Løsning
Ut ifra definisjonen av logaritmer gjelder følgende:
a=10lga , b=10lgb og a·b=10lg(a·b)
Derfra følger
10lga·10lgb=10lg(a·b)
Potensreglene sier at vi adderer eksponentene når to potenser med det samme grunntallet multipliseres. Det gir
10lga+lgb=10lg(a·b)
Når grunntallene i likningen er like, må eksponentene også være like. Derfor
lga+lgb=lg(a·b)
b) Vis at lgx2=2lgx.
Løsning
Vi bygger på definisjonen til potenser x2=(x)2:
10lgx2=(10lgx)2
Reglene for potensregning sier at vi multipliserer eksponentene innenfor og utenfor parentesen til en potens:
(10lgx)2=10lgx·2=102·lgx
10lgx2=102·lgx
I en likhet hvor grunntallene på begge sider er like, må eksponentene være like hverandre. Derav følger
lgx2=2lgx
c) Vis at 3lga3=lga.
Løsning
lga3=lga13
10lga=(103·lga)13
Reglene for potensregning sier at vi multipliserer eksponentene innenfor og utenfor parentesen til en potens:
10lga=103·lga·13=103·13·lga
10lga=10lga
Prøv å forenkle mest mulig eller slå sammen uttrykkene under.
a) 4(1+lnx+lnx)
Løsning
4(1+lnx+lnx)= 4(1+2lnx)= 4+8lnx eller= 4+lnx8
b) lg 5+lg6-lg2
Løsning
lg5+lg6-lg2= lg(5·6)-lg2= lg30-lg2= lg(302)= lg15
c) 13lga+2lgb
Løsning
13(lga+2lgb)= 13(lga+lgb2)= 13lg(a·b2)= lg(a·b2)13= lgab23
d) ln(x+4)-3lnx-lny
Løsning
ln(x+4)-3lnx-lny= ln(x+4)-lnx3-lny= ln(x+4)-(lnx3+lny)= ln(x+4)-ln(x3·y)= ln(x+4x3y)
e) lg8x2-2lg2x
Løsning
lg8x2-2lg2x= lg8+lgx2-2(lg2+lgx)= lg23+2lgx-2lg2-2lgx= 3lg2-2lg2= lg2
f) ln6+2ln2
Løsning
ln6+2ln2= ln6+ln22= ln6+ln4= ln6·4= ln24
g) lnx+ln8x-ln2x
Løsning
lnx+ln8x-ln2x= lnx·8x-ln2x= ln8x22x= ln4x
h) 2lg6-lg9+13lg27
Løsning
2lg6-lg9+13lg27= lg62-lg9+lg2713= lg36-lg9+lg3= lg36·3-lg9= lg36·39= lg12
i) lnx+2lnx-lnx2
Løsning
lnx+2lnx-lnx2= lnx+2lnx12-2lnx= lnx+12·2lnx-2lnx= lnx+lnx-2lnx= 0
Sett lg2=a og lg3=b. Bruk dette til å skrive om uttrykkene slik at de blir uttrykt med a og b.
a) lg24
Løsning
lg24= lg8·3= lg8+lg3= lg23+lg3= 3lg2+lg3= 3a+b
b) lg72
Løsning
lg72= lg8·9= lg8+lg9= lg23+lg32= 3lg2+2lg3= 3a+2b
c) lg98
Løsning
lg98= lg9-lg8= lg32-lg23= 2lg3-3lg2= 2b-3a
d) lg6481
Løsning
lg6481= lg8234= lg82-lg34= 2lg8-4lg3= 2lg23-4lg3= 3·2lg2-4lg3= 6lg2-4lg3= 6a-4b
Uttrykket ln8x2-ln4x+ln2x3 skal forenkles. Finn feil i løsningsforslaget under, og løs oppgaven.
ln8x2-ln4x+ln2x3= 2ln8x-ln4-lnx+ln2-lnx3= 2(ln8+lnx)-ln22-lnx+ln2-3lnx= 2ln23+2lnx-2ln2-lnx+ln2-3lnx= 2·3ln2+2lnx-2ln2-lnx+ln2-3lnx= 6ln2+2lnx-2ln2-lnx+ln2-3lnx= 5ln2-2lnx
Løsning
Første feil:
ln8x2-ln4x+ln2x3=2ln8x-ln4-lnx+ln2-lnx3
Eksponenten 2 hører kun til x og ikke til hele leddet. Det er forskjell på 8x2 og 8x2.
Andre feil:
ln8x2-ln4x+ln2x3=2ln8x-ln4-lnx+ln2-lnx3
Det må settes parentes rundt uttrykket slik at -ln4x blir -ln4-lnx. Slik vil det siste leddet i parentesen, -lnx, bli positivt når vi løser opp parentesen.
Nytt løsningsforslag:
ln8x2-ln4x+ln2x3= ln8+lnx2-ln4-lnx+ln2-lnx3= ln23+2lnx-ln22-lnx+ln2-3lnx= 3ln2+2lnx-2ln2-lnx+ln2-3lnx= 3ln2+2lnx-2ln2+lnx+ln2-3lnx= 2ln2