Njuike sisdollui
Bargobihttá

Logaritmesetningene. Forenkling av logaritmeuttrykk

Øv deg på å forenkle eller skrive om uttrykk med logaritmer.

1.2.30

Bruk regnereglene for logaritmer til å forenkle eller omskrive følgende uttrykk når a, b og x er større enn null.

a) lg3a+lga3

b) lg3a+lga3-3lga3

c) ln8b-ln4b-ln2+lnb

d) lga3b

e) lg(a3·b4)+lga2b3-lgb

f) ln2x-ln2x

g) lg(x2·x23)+lg1x3

Løsning

a) lg3a+lga3=lg3+lga+lga-lg3=2lga

b)

lg3a+lga3-3lga3= lg3+lga+lga-lg3-3lga13= lg3+lga+lga-lg3-3(13lga)= lg3+2lga-lg3-lga=lga

c)

 ln8b-ln4b-ln2+lnb= ln8+lnb-(ln4+lnb)-ln2+lnb= ln23+lnb-ln22-lnb-ln2+lnb= 3ln2+lnb-2ln2-lnb-ln2+lnb= lnb

d)

  lga3b= lga3-lgb= 3lga-lgb

e)

 lg(a3·b4)+lga2b3-lgb= lga3+lgb4+lga2-lgb3-lgb= 3lga+4lgb+2lga-3lgb-lgb= 5lga

f)

 ln2x-ln2x= ln2+lnx-(ln2-lnx)= ln2+lnx-ln2+lnx= 2lnx

g)

 lg(x2·x23)+lg1x3= lgx2+lgx23+lg1-lgx3= 2lgx+lgx23+lg1-lgx13= 2lgx+23lgx+lg1-13lgx= 73lgx+0= 73lgx

1.2.31

Gjengi de tre logaritmesetningene ved å bruke så mange fagbegreper som mulig, for eksempel sum, produkt, faktor og potens.

a) lg(a·b)=lga+lgb

Løsning

Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmen til hver av faktorene.

b) lg(ab)=lga-lgb

Løsning

Logaritmen til en brøk er lik differansen mellom logaritmen til telleren og logaritmen til nevneren.

c) lgax=x·lga

Løsning

Logaritmen til en potens er lik produktet av eksponenten og logaritmen til grunntallet.

1.2.32

a) Prøv å utlede første logaritmesetning ved å bruke potenser.

Løsning

Ut ifra definisjonen av logaritmer gjelder følgende:

a=10lga  ,  b=10lgb  og   a·b=10lg(a·b)

Derfra følger

10lga·10lgb=10lg(a·b)

Potensreglene sier at vi adderer eksponentene når to potenser med det samme grunntallet multipliseres. Det gir

10lga+lgb=10lg(a·b)

Når grunntallene i likningen er like, må eksponentene også være like. Derfor

lga+lgb=lg(a·b)

b) Vis at lgx2=2lgx.

Løsning

Vi bygger på definisjonen til potenser x2=(x)2:

10lgx2=(10lgx)2

Reglene for potensregning sier at vi multipliserer eksponentene innenfor og utenfor parentesen til en potens:

(10lgx)2=10lgx·2=102·lgx

10lgx2=102·lgx

I en likhet hvor grunntallene på begge sider er like, må eksponentene være like hverandre. Derav følger

lgx2=2lgx

c) Vis at 3lga3=lga.

Løsning

lga3=lga13

10lga=(103·lga)13

Reglene for potensregning sier at vi multipliserer eksponentene innenfor og utenfor parentesen til en potens:

10lga=103·lga·13=103·13·lga

10lga=10lga

1.2.33

Prøv å forenkle mest mulig eller slå sammen uttrykkene under.

a) 4(1+lnx+lnx)

Løsning

 4(1+lnx+lnx)= 4(1+2lnx)= 4+8lnx eller= 4+lnx8

b) lg 5+lg6-lg2

Løsning

 lg5+lg6-lg2= lg(5·6)-lg2= lg30-lg2= lg(302)= lg15

c) 13lga+2lgb

Løsning

 13(lga+2lgb)= 13(lga+lgb2)= 13lg(a·b2)= lg(a·b2)13= lgab23

d) ln(x+4)-3lnx-lny

Løsning

 ln(x+4)-3lnx-lny= ln(x+4)-lnx3-lny= ln(x+4)-(lnx3+lny)= ln(x+4)-ln(x3·y)= ln(x+4x3y)

e) lg8x2-2lg2x

Løsning

 lg8x2-2lg2x= lg8+lgx2-2(lg2+lgx)= lg23+2lgx-2lg2-2lgx= 3lg2-2lg2= lg2

f) ln6+2ln2

Løsning

 ln6+2ln2= ln6+ln22= ln6+ln4= ln6·4= ln24

g) lnx+ln8x-ln2x

Løsning

 lnx+ln8x-ln2x= lnx·8x-ln2x= ln8x22x= ln4x

h) 2lg6-lg9+13lg27

Løsning

 2lg6-lg9+13lg27= lg62-lg9+lg2713= lg36-lg9+lg3= lg36·3-lg9= lg36·39= lg12

i) lnx+2lnx-lnx2

Løsning

 lnx+2lnx-lnx2= lnx+2lnx12-2lnx= lnx+12·2lnx-2lnx= lnx+lnx-2lnx= 0

1.2.34

Sett lg2=a og lg3=b. Bruk dette til å skrive om uttrykkene slik at de blir uttrykt med a og b.

a) lg24

Løsning

 lg24= lg8·3= lg8+lg3= lg23+lg3=  3lg2+lg3=  3a+b

b) lg72

Løsning

 lg72= lg8·9= lg8+lg9= lg23+lg32= 3lg2+2lg3= 3a+2b


c) lg98

Løsning

 lg98= lg9-lg8= lg32-lg23= 2lg3-3lg2= 2b-3a


d) lg6481

Løsning

 lg6481= lg8234= lg82-lg34= 2lg8-4lg3= 2lg23-4lg3= 3·2lg2-4lg3= 6lg2-4lg3= 6a-4b

1.2.35

Uttrykket ln8x2-ln4x+ln2x3 skal forenkles. Finn feil i løsningsforslaget under, og løs oppgaven.

 ln8x2-ln4x+ln2x3= 2ln8x-ln4-lnx+ln2-lnx3= 2(ln8+lnx)-ln22-lnx+ln2-3lnx= 2ln23+2lnx-2ln2-lnx+ln2-3lnx= 2·3ln2+2lnx-2ln2-lnx+ln2-3lnx= 6ln2+2lnx-2ln2-lnx+ln2-3lnx= 5ln2-2lnx

Løsning

Første feil:

    ln8x2-ln4x+ln2x3=2ln8x-ln4-lnx+ln2-lnx3

Eksponenten 2 hører kun til x og ikke til hele leddet. Det er forskjell på 8x2 og 8x2.

Andre feil:

    ln8x2-ln4x+ln2x3=2ln8x-ln4-lnx+ln2-lnx3

Det må settes parentes rundt uttrykket slik at -ln4x blir -ln4-lnx. Slik vil det siste leddet i parentesen, -lnx, bli positivt når vi løser opp parentesen.

Nytt løsningsforslag:

 ln8x2-ln4x+ln2x3= ln8+lnx2-ln4-lnx+ln2-lnx3= ln23+2lnx-ln22-lnx+ln2-3lnx= 3ln2+2lnx-2ln2-lnx+ln2-3lnx= 3ln2+2lnx-2ln2+lnx+ln2-3lnx= 2ln2

CC BY-SA 4.0Dán lea/leat čállán Stein Aanensen, Olav Kristensen ja Viveca Thindberg.
Maŋemusat ođastuvvon 2022-08-18