Vektorregning – blandede oppgaver
Her finner du løsningsforslag til hver oppgave i bokser nederst på sida i stedet for under hver enkelt oppgave. Husk at det kan være lurt å løse alle oppgavene både for hånd og i GeoGebra så langt det er mulig. Til noen av oppgavene finner du begge løsningsmetodene her.
4.1
Vi har gitt punktene og
a) Bestem koordinatene til
b) Finn koordinatene til
c) Sammen med punktet
d) Punktet
4.2
Vi har gitt punktene
a) Undersøk om
b) Undersøk om
c) Punktene
Hva var en median, igjen?
En median er ei linje som går gjennom et hjørne i trekanten og midtpunktet på den motstående sida. Skjæringspunktet deler medianene i forholdet 2:1.
4.3
Vi har gitt to vektorer,
Du får også oppgitt at
a) Bestem
b) Tegn
c) Tegn
d) Bestem
4.4
Vi har gitt punktene
a) Bestem koordinatene og lengden til
b)
c) Undersøk om parallellogrammet er et rektangel.
4.5
Gitt to vektorer
a) Vis at
b) Bestem
c) Bruk resultatene fra a) og b), og tegn trekanten utspent av
4.6
Vi har gitt punktene
a) Finn vinkelen mellom
b) Punktene
4.7
Tegn en vilkårlig firkant
a) Tegn firkant
b) Dra i hjørnene på firkant
Vi setter nå
c) Vis at
d) Vis at
e) Uttrykk
f) Vis at
g) Hva har du vist generelt om en firkant som er definert av midtpunktene på sidekantene til en vilkårlig firkant?
4.8
Vi har gitt vektorene
a) Finn skalarproduktet mellom
La
Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom
b) Hva blir måleenheten for arbeid?
c) Hvor stort arbeid utfører Magnus?
d) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Tegn inn vektorene.
4.9
Vi har gitt vektorene
a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.
b) Finn lengden til vektorene.
c) Finn vinkelen mellom vektorene.
4.10
Vi har gitt punktet
a) Finn en parameterframstilling til ei linje
b) Finn en parameterframstilling for ei linje
c) Finn en parameterframstilling for ei linje
d) Finn en parameterframstilling for ei linje
e) Finn skjæringspunktene mellom
Løsninger
4.1 for hånd
a)
b) Vi ser av a) at
Siden det er vanlig å la punktnummerering i geometriske figurer gå mot klokka, velger vi
c) Vi vet at
Punktet
d) Siden
Vi får da at
4.1 med CAS i GeoGebra
a) Vi starter med å definere punktene og finne vektoren:
b) Vi setter inn punkt
Vi velger
c) Vi bruker de samme opplysningene som i "for hånd"-løsningen og setter inn i CAS (vi husker at
Punktet er altså
d)
4.2 for hånd
a)
Siden skalarproduktet er null, er de to vektorene ortogonale.
b)
c)
Vi kaller midtpunktet på
Vi kaller skjæringspunktet mellom medianene for
Punktet
4.2 med CAS i GeoGebra
a)
Vi definerer punktene, finner vektorene og viser at skalarproduktet mellom dem er 0:
b) Vi definerer
c) Vi kaller midtpunktet på
4.3
a)
b)
c)
d)
4.4
a)
b)
Punkt
c)
Dersom parallellogrammet er et rektangel, må alle vinklene være rette. Siden to og to vinkler i et parallellogram er like og vinkelsummen er 360 grader, vet vi at dersom en vinkel er rett, må alle vinklene være rette.
Vi undersøker om
Parallellogrammet er et rektangel.
4.5
a)
b)
c)
Vi vet fra a) at trekanten er rettvinklet og fra b) at trekanten er likebeint:
4.6
a) Vi starter med å definere punktene og finne vektorene. Så finner vi vinkelen i grader ved å bruke vinkelkommandoen og dele på gradetegnet. Vinkelen mellom de to vektorene er 82,87 grader.
b) Vi definerer
4.7
Denne oppgaven er utforskende, så her kommer bare noen antydninger og tips til løsning.
b) Du vil kunne observere at de motstående sidene i EFGH vil være like lange uansett hvordan du drar i hjørnene til ABCD.
e) De to vektorene er like.
f) Her kan du følge mønsteret fra c) til e).
g) Vi har vist det vi observerte i b), at en slik firkant alltid vil være et parallellogram.
4.8
a)
b) Siden arbeid er et produkt av de to vektorene, blir måleenheten også produktet av måleenhetene til vektorene, altså Nm. Denne måleenheten kalles ofte for Joule, forkortet til J.
c) Kombinasjonen av det vi fant i a) og b) gir oss at arbeidet Magnus utfører, er
d) Tegningen kan se slik ut:
4.9
Vi bruker GeoGebra (regn det gjerne ut for hånd også):
4.10
a)
b)
c) Vi har at
d) Vi må finne et punkt på
Dette gir følgende løsning:
Vi ser at vi får to muligheter for
e) Vi får to ulike løsninger alt etter hvilken versjon av
Vi får altså at de to mulige skjæringspunktene er