Å uttrykke en vektor på flere måter
Vi ønsker å uttrykke vektoren ved hjelp av vektorene og .
er midtpunktet på . Se figuren.
Vektoren kan uttrykkes på to måter:
og
Vektorene og er like lange og motsatt rettet. Det betyr at
Mange geometriske problemstillinger kan løses ved å uttrykke en vektor på to ulike måter. Vi «følger to veier» for å komme fra utgangspunkt til endepunkt.
Det vi egentlig har gjort i eksemplet over, er å dekomponere ved hjelp av
Bevis for mediansetningen
En median i en trekant er et linjestykke som går fra et hjørne til midtpunktet på den motstående sida (se bildet under)
Mediansetningen om trekanter lyder slik:
De tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette skjæringspunktet deler medianene i forholdet 2 : 1.
Vi skal gjøre beviset for mediansetningen i to trinn. Først (trinn 1) skal vi vise at skjæringspunktet S mellom
Trinn 1:
På trekanten har vi satt
Vi starter med å uttrykke vektoren
Først går vi direkte fra A til S. Vi vet at
Disse to uttrykkene beskriver den samme vektoren og må altså være like. Vi setter dem lik hverandre og løser likningssettet vi nå får:
Første trinn i beviset er nå ferdig – vi har vist at skjæringspunktet mellom to av medianene deler begge disse medianene i forholdet 2 : 1.
Trinn 2:
Nå skal vi vise at S også ligger på den siste medianen og deler denne i forholdet 2 : 1. Dette innebærer å vise at
Vi starter med å uttrykke de to vektorene ved hjelp av basisvektorene:
Ved å regne ut forholdet mellom koeffisientene til
Vi har nå, ved hjelp av å uttrykke en vektor på to måter, bevist både at alle medianene i trekanten krysser hverandre i ett og samme punkt, og at dette punktet deler alle medianene i forholdet 2 : 1.