Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Å uttrykke en vektor på flere måter

Vi kan uttrykke en vektor som en sum av andre vektorer. Nå skal vi bruke dette til blant annet å utforske medianer i trekanter.

Å uttrykke en vektor som en sum av andre vektorer

Vi ønsker å uttrykke vektoren AM ved hjelp av vektorene AB og AC.
M er midtpunktet på BC. Se figuren.

Vektoren AM kan uttrykkes på to måter:

AM=AB+BM og AM=AC+CM

Vektorene BM og CM er like lange og motsatt rettet. Det betyr at

2·AM = AB+BM+AC+CM2·AM=AB+BM+AC-BM2·AM=AB+AC   AM=12AB+12AC

Å bruke basisvektorer

Mange geometriske problemstillinger kan løses ved å uttrykke en vektor på to ulike måter. Vi «følger to veier» for å komme fra utgangspunkt til endepunkt.

Det vi egentlig har gjort i eksemplet over, er å dekomponere AM ved hjelp av AB og AC. I noen tilfeller kan det bli ryddigere hvis vi gir navn til vektorene vi bruker som basisvektorer. Vi skal bruke dette for å bevise en viktig setning fra geometrien, nemlig mediansetningen.

Bevis for mediansetningen

En median i en trekant er et linjestykke som går fra et hjørne til midtpunktet på den motstående sida (se bildet under)


Mediansetningen om trekanter lyder slik:


De tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette skjæringspunktet deler medianene i forholdet 2 : 1.

Vi skal gjøre beviset for mediansetningen i to trinn. Først (trinn 1) skal vi vise at skjæringspunktet S mellom AM2 og BM3 deler de to linjestykkene i forholdet 2 : 1. Så (trinn 2) skal vi vise at S også ligger på linjestykket CM1 og deler dette i det samme forholdet.

Trinn 1:

På trekanten har vi satt AB=a og AC=b. Da får vi at BC=-a+b=b-a.

Vi starter med å uttrykke vektoren AS på to ulike måter ved hjelp av disse vektorene.

Først går vi direkte fra A til S. Vi vet at AS er parallell med AM2 , derfor kan vi skrive AS=k·AM2:
AS=k·AM2=k·AB+12BC=k·a+12b-12a=12ka+12kbSå velger vi veien om B og får at:
AS=AB+t·BM3=a+tBA+12AC=a+t-a+12b=1-ta+12tb

Disse to uttrykkene beskriver den samme vektoren og må altså være like. Vi setter dem lik hverandre og løser likningssettet vi nå får:

12ka+12kb=1-ta+12tb12k=1-t12k=12tk=t12t=1-tt=23k=23

Første trinn i beviset er nå ferdig – vi har vist at skjæringspunktet mellom to av medianene deler begge disse medianene i forholdet 2 : 1.

Trinn 2:

Nå skal vi vise at S også ligger på den siste medianen og deler denne i forholdet 2 : 1. Dette innebærer å vise at CS=23CM1.

Vi starter med å uttrykke de to vektorene ved hjelp av basisvektorene:

CS=CA+AS=-b+12·23a+12·23b=13a-23bCM1=CA+12AB=-b+12a=12a-b

Ved å regne ut forholdet mellom koeffisientene til a og b kan vi fullføre beviset:

13a12a=23-23b-b=23CS=23CM1

Vi har nå, ved hjelp av å uttrykke en vektor på to måter, bevist både at alle medianene i trekanten krysser hverandre i ett og samme punkt, og at dette punktet deler alle medianene i forholdet 2 : 1.