Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Skalarproduktet

Til nå har vi funnet summen av vektorer, differansen mellom vektorer, og vi har multiplisert en vektor med et tall. I alle tilfellene har vi fått en ny vektor som resultat. Vi skal nå definere det som kalles skalarproduktet mellom vektorer.

Hva er skalarprodukt?

Skalarproduktet mellom to vektorer gir ikke en ny vektor som resultat, men en skalar (altså et tall). Derfor kalles det for skalarprodukt. Et annet navn er prikkprodukt. Vi sier at vi "prikker" to vektorer med hverandre.

Merk at med vinkelen mellom to vektorer menes den minste vinkelen mellom dem når vektorene plasseres med det samme utgangspunktet.

Vinkelen mellom to vektorer er altså alltid mindre enn eller lik 180 grader.

Definisjon

Gitt to vektorer a og b. La α være vinkelen mellom vektorene.

Skalarproduktet eller prikkproduktet mellom vektorene er definert som

a·b=a·b·cosα

Skalarproduktet mellom to vektorer finner vi altså ved å multiplisere lengdene til de to vektorene med cosinus til vinkelen mellom dem.

Cosinus

Når du skal regne ut skalarproduktet mellom to vektorer, må du finne cosinus til vinkelen mellom vektorene. I matematikk 1T definerte vi cosinus til en vilkårlig vinkel ved hjelp av enhetssirkelen, se figuren.

Du kan alltid finne cosinus til en vinkel ved å bruke et digitalt verktøy. Noen cosinusverdier bør du likevel klare å finne ved hjelp av enhetssirkelen. Gå til denne artikkelen fra 1T hvis du er usikker. Bruk enhetssirkelen og finn cos0°, cos90°, og cos180°.

For hvilke vinkler er cosinusverdien, og dermed også skalarproduktet, negativ?

For hvilke vinkler er cosinusverdien, og dermed også skalarproduktet, positiv?

Skalarproduktet har stor betydning i fysikkfaget. For eksempel er arbeid i fysikken definert som skalarproduktet mellom vektorene kraft og strekning.

Ortogonale vektorer

Når to vektorer står normalt (vinkelrett) på hverandre, er vinkelen mellom vektorene 90°. Siden cos90°=0 , vil skalarproduktet også bli lik 0.

a·b = a·b·cos90°a·b=a·b·0a·b=0

Motsatt må det også være slik at hvis skalarproduktet er lik 0 og begge vektorene er forskjellig fra nullvektor, må cosinus til vinkelen mellom dem være 0, og vinkelen må være 90°.

To vektorer som står normalt på hverandre, kalles ortogonale vektorer. Det matematiske symbolet er .

Vi kan da oppsummere dette slik:

aba·b=0

Her går vi ut frå at a0 og b0.

Regneregler for skalarproduktet

Slik skalarproduktet mellom to vektorer er definert, får vi regneregler for vektorer som til forveksling er lik regnereglene for skalare størrelser. Det kan vises at følgende regneregler gjelder for skalarproduktet:

a·b=b·aa·b+c=a·b+a·ca+b·c+d=a·c+a·d+b·c+b·dsa·tb=s·ta·b

Dermed får vi

a+b2=a2+2a·b+b2a-b2=a2-2a·b+b2a+b·a-b=a2-b2

Hva skjer hvis du prikker en vektor med seg selv?

Vi har sett at skalarproduktet eller prikkproduktet mellom to vektorer er definert som

a·b=a·b·cosα

Når en vektor prikkes med seg selv, får vi en spesiell situasjon. Vinkelen α er da 0°. Som du fant ut lenger oppe, er cos0°=1. Vi får derfor

a·a = a·a·cos0°  a2=a2·1   a2=a2  

Legg merke til skrivemåten a2 for a·a.

Ut fra det vi nå vet om at skalarproduktet er et tall og ikke en vektor, kan vi se at en vektor opphøyd i 2 ikke er en vektor, men en skalar. Dette kan vi bruke til å finne lengden av en vektor, slik:

a=a2

Regneeksempel

Om to vektorer a og b får du vite følgende:

a = 5b = 2a·b = 8

To andre vektorer er gitt som u=2a+b og v=a-b.

Vi kan finne prikkproduktet mellom u og v:

u·v = 2a+b·a-b=  2a·a+2a·-b+a·b-b·b= 2a2-a·b-b2

Nå setter vi inn opplysningene vi fikk om a og b og husker at a2=a2.Da får vi

2a2+a·b-b2=2·52-8-22=50-8-4=38

Video om skalarproduktet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om regneregler for skalarproduktet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0
CC BY-SA 4.0Dán lea/leat čállán Olav Kristensen, Stein Aanensen ja Tove Annette Holter.
Maŋemusat ođastuvvon 2024-01-16