Skalarproduktet
Skalarproduktet mellom to vektorer gir ikke en ny vektor som resultat, men en skalar (altså et tall). Derfor kalles det for skalarprodukt. Et annet navn er prikkprodukt. Vi sier at vi "prikker" to vektorer med hverandre.
Merk at med vinkelen mellom to vektorer menes den minste vinkelen mellom dem når vektorene plasseres med det samme utgangspunktet.
Vinkelen mellom to vektorer er altså alltid mindre enn eller lik 180 grader.
Definisjon
Gitt to vektorer og
Skalarproduktet eller prikkproduktet mellom vektorene er definert som
Skalarproduktet mellom to vektorer finner vi altså ved å multiplisere lengdene til de to vektorene med cosinus til vinkelen mellom dem.
Cosinus
Når du skal regne ut skalarproduktet mellom to vektorer, må du finne cosinus til vinkelen mellom vektorene. I matematikk 1T definerte vi cosinus til en vilkårlig vinkel ved hjelp av enhetssirkelen, se figuren.
Du kan alltid finne cosinus til en vinkel ved å bruke et digitalt verktøy. Noen cosinusverdier bør du likevel klare å finne ved hjelp av enhetssirkelen. Gå til denne artikkelen fra 1T hvis du er usikker. Bruk enhetssirkelen og finn
For hvilke vinkler er cosinusverdien, og dermed også skalarproduktet, negativ?
For hvilke vinkler er cosinusverdien, og dermed også skalarproduktet, positiv?
Skalarproduktet har stor betydning i fysikkfaget. For eksempel er arbeid i fysikken definert som skalarproduktet mellom vektorene kraft og strekning.
Når to vektorer står normalt (vinkelrett) på hverandre, er vinkelen mellom vektorene
Motsatt må det også være slik at hvis skalarproduktet er lik 0 og begge vektorene er forskjellig fra nullvektor, må cosinus til vinkelen mellom dem være 0, og vinkelen må være
To vektorer som står normalt på hverandre, kalles ortogonale vektorer. Det matematiske symbolet er
Vi kan da oppsummere dette slik:
Her går vi ut frå at
Slik skalarproduktet mellom to vektorer er definert, får vi regneregler for vektorer som til forveksling er lik regnereglene for skalare størrelser. Det kan vises at følgende regneregler gjelder for skalarproduktet:
Dermed får vi
Vi har sett at skalarproduktet eller prikkproduktet mellom to vektorer er definert som
Når en vektor prikkes med seg selv, får vi en spesiell situasjon. Vinkelen
Legg merke til skrivemåten
Ut fra det vi nå vet om at skalarproduktet er et tall og ikke en vektor, kan vi se at en vektor opphøyd i 2 ikke er en vektor, men en skalar. Dette kan vi bruke til å finne lengden av en vektor, slik:
Om to vektorer
To andre vektorer er gitt som
Vi kan finne prikkproduktet mellom
Nå setter vi inn opplysningene vi fikk om