Når vi løser trigonometriske likninger, må vi passe godt på hvilket intervall løsningene skal være innenfor.
Enkle sinuslikninger
Dersom du har vært gjennom oppgave 2.1.31 på siden "Eksakte trigonometriske verdier", har du allerede løst trigonometriske likninger. I oppgaven blir du bedt om å finne hvilken vinkel i første kvadrant som har sinusverdi lik .
Hvordan kan du sette opp denne oppgaven som en likning?
Svar
Hva blir løsningen av likningen?
Svar
Siden oppgaven spør etter en vinkel i første kvadrant og høyresiden er en av de eksakte trigonometriske verdiene, blir løsningen
Hvilke løsninger har likningen i første omløp? Bruk figuren til hjelp.
Enhetssirkel med supplementvinklene u og v.
Svar
Første omløp betyr at . Vi får i tillegg supplementvinkelen til løsningen i første kvadrant. Løsningen blir
Dette kan vi også skrive på mengdeform som
Hva blir løsningen hvis ?
Svar
Likningen har da uendelig mange løsninger: to vinkler i hvert omløp, der vinklene sammenfaller med vinklene i første omløp. For eksempel vil vinkelen i andre omløp sammenfalle med vinkelen og være en løsning, se figuren nedenfor.
Vinkelen 7pi tredjedeler eller 420 grader.
Vi skriver løsningen ved hjelp av de to løsningene vi har i første omløp og det hele tallet på samme måte som vi skriver opp ekstremal- og nullpunktene til sinusfunksjonen på siden "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen". Vi får
der (mengden av de hele tallene). Alternativt kan vi skrive løsningen som
Vi ser at det er viktig å se på i hvilket område vi skal lete etter løsninger av trigonometriske likninger. Likningen har i utgangspunktet uendelig mange løsninger, to for hvert omløp, siden sinusfunksjonen er periodisk. Dersom det ikke er angitt noe løsningsområde for , må vi gå ut ifra at løsningsområdet er alle reelle tall, .
Løsning med CAS i GeoGebra
Prøv å løse likningen med CAS i GeoGebra. Hva får du?
Resultat
Her har vi brukt som variabel. Vi ser at GeoGebra automatisk antar at når vi ikke spesifiserer noe område for .
Vi kan i GeoGebra angi det aktuelle løsningsområdet for med en ulikhet atskilt fra likningen med et komma. På bildet har vi angitt at skal være i første omløp.
Hva skriver vi dersom vi kun vil ha løsninger i andre omløp?
Svar
Hva skriver vi dersom vi vil ha løsninger i første omløp i grader i stedet for radianer?
Svar
Vi må sette et gradsymbol etter i likningen, og vi må huske å oppgi løsningsområdet i grader.
Husk at gradsymbolet betyr at blir regnet om til radianer ved å multiplisere med brøken . Se oppgave 2.1.34 på oppgavesiden "Radianer – absolutte vinkelmål".
Hva med cosinus og tangens?
Hvordan tror du framgangsmåten blir dersom du skal løse likningen sammenliknet med hvordan du løser likningen ?
Forklaring
Framgangsmåtene for å løse de to likningene er nokså like. Du kan se et eksempel på løsning av en cosinuslikning i videoen nederst på siden. På oppgavesiden om enkle trigonometriske likninger får du likningen som en av oppgavene.
En tilsvarende oppgave med vil også få tilsvarende framgangsmåte for løsningen.
Når vinkelen er
Vi skal løse likningen
Vi løser likningen ved å sette . Da får vi
Løsningen på denne har vi lenger opp på siden. Vi får
der . Nå kan vi erstatte med . Resultatet blir
Merk at dette resultatet kan vi sette opp direkte uten å gå veien om . Det er argumentet til sinusfunksjonen (her: ) som blir stående på venstresiden i uttrykkene for løsningen.
Hva mangler nå for at vi skal kunne skrive opp løsningen, og hva må vi gjøre?
Forklaring
Vi må gå fra til . Det gjør vi som vanlig i likninger ved å dele på i alle ledd.
Vi ser på den første løsningen og deler på i begge leddene på høyre side.
Ikke glem å dele leddet på . Vi får tilsvarende i den andre løsningen:
Løsningsmengden blir derfor
Vi får samme løsning med CAS i GeoGebra:
Vi antar nå at vi skal løse likningen med betingelsen . Forklar hvorfor det blir flere enn to løsninger.
Forklaring
Ut ifra løsningen når får vi løsninger i første omløp både når og når siden vi nå har leddet i løsningen i stedet for .
Den første løsningen gir
når
når
Den andre løsningen gir
når
når
Løsningsmengden blir
Når vinkelen er 𝛑
Vi skal løse likningen
Siden argumentet til sinusfunksjonen er , får vi
Hva må vi gjøre her for å ende opp med bare på venstre side av løsningene?
Forklaring
Før vi deler med 2, flytter vi over brøken til høyre side.
Vi får
der og
og løsningsmengden blir
Dersom området for er begrenset, tester vi på vanlig måte hvilke -verdier som gir løsninger innenfor området.
