Likninger. Likninger løst ved regning

Kjenner du igjen denne typen oppgaver fra barneskolen?

Da du fant ut hvilket tall som skulle stå i den tomme ruta, løste du egentlig en likning. Du fant ut hva som måtte stå der for at det skulle bli likt på begge sider av likhetstegnet.

De enkleste likningene er såkalte lineære likninger. I lineære likninger har vi aldri potenser av , som for eksempel . Vi har heller ikke i nevneren på en brøk.

Et eksempel på en lineær likning er

Å løse en likning går ut på å finne ut hvilken verdi må ha for at uttrykkene på hver side av likhetstegnet skal være like. Det er altså det samme som du gjorde da du fant ut hvilket tall som skulle stå i den tomme ruta i oppgavene ovenfor.

I den lineære likningen over kan vi se at om vi bytter ut med tallet 3, blir uttrykkene på hver side av likhetstegnet like.

Da står tallet 5 på begge sider av likhetstegnet.

I de fleste likninger er det ikke så lett å se hvilket tall må være.
Se for eksempel på likningen

Vi baserer løsningen av slike likninger på det at vi kan "tukle" med likningen så lenge vi gjør det samme på begge sider av likningen. Om vi for eksempel legger til eller trekker fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet, har uttrykkene på hver side fortsatt lik verdi.
Husk at står for et tall.

Vi trekker fra tallet 3 på begge sider av likhetstegnet:

er lik null og kan fjernes fra venstresida.
på høyresida kan erstattes med tallet 4.

Likningen blir nå

Vi trekker så fra tallet på begge sider av likhetstegnet:

På høyresida er lik null og kan fjernes. På venstresida kan erstattes med . Likningen blir nå

Da har vi jo funnet ut hva må være, og vi har løst likningen.

Vi kan sjekke om løsningen er riktig. Da bytter vi ut med tallet 4 i den opprinnelige likningen:

Vi ser at når , er både venstresida og høyresida lik tallet 11, altså like store. Løsningen er riktig.

Noen ganger er vi ikke så heldige å få løsningen så enkelt som ovenfor. Vi kan for eksempel få

Hvis to uttrykk er like, må de fortsatt være like om vi deler begge på det samme tallet.

Vi deler på 3 på begge sider av likhetstegnet:

3 delt på 3 er lik 1, og venstresida blir da lik 1, som er det samme som . 12 delt på 3 er lik 4, og likningen blir

Vi har dermed funnet løsningen.

Eksempel på enkel (lineær) likning

Vi tar med et eksempel til.

Eksempel på likning med brøk

Noen likninger inneholder brøker. Når vi løser likninger med brøker, baserer vi oss på at hvis to uttrykk er like, må de fortsatt være like om vi multipliserer (ganger) begge med det samme tallet.

Noen likninger inneholder også parentesuttrykk. Da starter vi med å gange ut disse parentesuttrykkene.

Eksempel 1 på likning med parentes

Eksempel 2 på likning med parentes

I CAS i GeoGebra kan vi løse likninger ved først å skrive inn likningen slik som den står og deretter bruke kommandoknappen , som gir eksakt løsning. Da vil det i CAS-feltet stå "Løs:" ved løsningen.

Eksempel

Løs likningen    med CAS.

Vi skriver inn likningen, trykker på knappen og får løsningen  .

Dersom vi ikke ønsker å ha svaret som en brøk, kan vi nå trykke direkte på knappen uten å skrive inn noe mer. Da vil GeoGebra gjøre om svaret på linja over (linje 1) til et desimaltall, det vil si en tilnærmet løsning, hvis vi for eksempel ikke vil ha svaret som en brøk.

Legg merke til at når du trykker på knappen , setter GeoGebra inn symbolet "$1", som er symbolet for "svaret i linje nummer 1". Det er fordi når det ikke står noe på linja fra før, går GeoGebra automatisk ut ifra at du mener svaret i linja over.

I stedet for å skrive inn likningen og bruke knappen når du skal løse en likning med CAS, kan du bruke kommandoen "Løs()" og skrive likningen inn mellom parentesene slik som nedenfor.

Løs(2x=2-x)

Prøv denne kommandoen!

Når vi skal løse lineære likninger som de på siden her, kan vi bruke følgende algoritme:

1. Hvis likningen inneholder parenteser, må vi først multiplisere (gange) ut disse parentesene.
2. Hvis likningen inneholder brøker, må vi multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet.
3. Vi legger til eller trekker fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet slik at vi får samlet alle leddene som inneholder på venstre side og alle leddene som bare består av tall på høyre side av likhetstegnet.
4. Vi trekker sammen leddene.
5. Til slutt dividerer vi med tallet foran på begge sider av likhetstegnet.

Vi må helt til slutt ta med en spesiell situasjon som kan inntreffe. Det hender at den ukjente er "opphøyd i andre potens". I stedet for står det , " i andre potens" eller bare " i andre".

Når et tall er "opphøyd i andre potens", betyr det bare at tallet skal ganges med seg selv.

Når likningen inneholder i stedet for , er ikke likningen lineær lenger. Da løser vi likningen som vist ovenfor, men nå med som den ukjente. Vi finner da hva er lik.

Eksempel

Det gjenstår nå bare å finne ut hva er lik. Husk da at betyr . Tallet er derfor det tallet som ganget med seg selv er lik 9. Da kan være lik tallet 3 fordi, som vi ser ovenfor, så er . Legg i tillegg merke til at tallet ganget med seg selv også er lik 9. Vi har at .

Løsningen på likningen blir derfor at

Legg merke til at vi har to løsninger på likningen. Du er kanskje vant til å tenke at løsningen på denne likningen er kvadratrota av 9. Det er viktig å huske på at det bare er det positive tallet som opphøyd i andre er lik 9 som kalles for kvadratrota til 9. Kvadratrota til 9 er lik 3, og vi skriver

Svaret på likningen over kan da skrives

Prøv også å løse likningen med CAS i GeoGebra.