Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte

Grafen ser ut som en parabel med toppunkt i $$ \left(2, 1\right)$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ vokser når  $$ x<2$$  og synker når  $$ x>2$$.

I tillegg til toppunktet $$ \left(2, 1\right)$$ kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene  $$ x=1$$  og  $$ x=3$$. Funksjonen er derfor større enn null når  $$ 1<x<3$$. Ellers er den mindre enn null utenom nullpunktene.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når  $$ x<2$$, null når  $$ x=2$$  og negativ når  $$ x>2$$.

Fortegnslinjene for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$ blir derfor som nedenfor.

Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i $$ \left(-0.5, -2.25\right)$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ synker når  $$ x<-0,5$$  og stiger når  $$ x>-0,5$$.

I tillegg til bunnpunktet $$ \left(-0.5, -2.25\right)$$ kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene  $$ x=-2$$  og  $$ x=1$$. Funksjonen er derfor mindre enn null når  $$ -2<x<1$$. Ellers er den større enn null utenom nullpunktene.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når  $$ x<-0,5$$, null når  $$ x=-0,5$$  og positiv når  $$ x>-0,5$$.

Fortegnslinjene for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$ blir derfor som nedenfor.

Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i $$ \left(0.5, 0.75\right)$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ synker når  $$ x<0,5$$  og stiger når  $$ x>0,5$$.

Grafen ligger over $$ x$$-aksen hele tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når  $$ x<0,5$$, null når  $$ x=0,5$$  og positiv når  $$ x>0,5$$.

Fortegnslinjene for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$ blir derfor som nedenfor.

Grafen har et lokalt maksimalpunkt for  $$ x=-0,2$$  og et lokalt minimalpunkt for  $$ x=3,5$$. Vi har derfor et toppunkt i $$ \left(-0.2,f\left(-0.2\right)\right)$$ og et bunnpunkt i $$ \left(3.5,f\left(3.5\right)\right)$$. Det betyr også at $$ f\left(x\right)$$ vokser når  $$ x<-0,2$$  og når  $$ x>3,5$$  og synker når  $$ -0,2<x<3,5$$.

I tillegg til det lokale maksimalpunktet  $$ x=-0,2$$  og det lokale minimalpunktet  $$ x=3,5$$  kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktet  $$ x=-2,1$$. Funksjonen er derfor mindre enn null når  $$ x<-2,1$$. Ellers er den større enn null utenom nullpunktet.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når  $$ x<-0,2$$  og når  $$ x>3,5$$, null når  $$ x=-0,2$$  og når  $$ x=3,5$$  og negativ når  $$ -0,2<x<3,5$$.

Fortegnslinjene for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$ blir derfor som nedenfor.

Funksjonen har nullpunktene  $$ x=0$$  og  $$ x=4$$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et toppunkt når  $$ x=2$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ vokser når  $$ x<2$$  og synker når  $$ x>2$$. Grafen til funksjonen kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva $$ y$$-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på $$ y$$-aksen.

Funksjonen har nullpunktene  $$ x=-4$$  og  $$ x=1$$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når  $$ x=-1,5$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ kan ha form som en parabel og kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva $$ y$$-koordinaten til bunnpunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på $$ y$$-aksen.

Funksjonen har nullpunktene  $$ x=-2, x=-1$$  og  $$ x=3$$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når  $$ x=-1,5$$  og et topppunkt når  $$ x=1,5$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ synker når  $$ x<-1,5$$  og når  $$ x>1,5$$ og vokser når  $$ -1,5<x<1,5$$. Grafen til funksjonen kan derfor se ut omtrent som på bildet nedenfor.

Ifølge fortegnslinja til $$ f$$ skal funksjonen være større enn null, krysse $$ x$$-aksen for  $$ x=-4$$  og være mindre enn null et stykke. Det må bety at grafen synker i et intervall rundt  $$ x=-4$$. Men ifølge fortegnslinja til $$ f^{\text{'}}$$ skal funksjonen være stigende i dette område siden fortegnslinja er heltrukken akkurat her. Det må derfor være en feil i dette fortegnsskjemaet.

Hvis vi lar fortegnslinja til $$ f^{\text{'}}$$ være stiplet når  $$ x<-1,5$$  og heltrukken når  $$ x>-1,5$$, blir det samsvar med fortegnslinja til $$ f$$.